¿Cómo se puede probar que cualquier relación de preferencia en X (contable) tiene una representación de utilidad con un rango de (0,1)?

Question

Teorema: Si $X$ es numerable, entonces cualquier preferencia en $X$ tiene una representación de utilidad con un rango $(0,1)$.

La prueba establecida en las notas de la conferencia de Rubinstein:

Prueba: Sea $\{x_n\}$ una enumeración de todos los elementos en $X$. Construiremos la función de utilidad de manera inductiva. Establezca $U(x_1) =1/2$. Suponga que ha completado la definición de los valores $U(x_1), . . ., U(x_{n-1})$ de modo que $x_k \succeq x_l$ si y solo si $U(x_k) \geq U(x_l)$. Si $x_n$ es indiferente a $x_k$ para algún $k, entonces asigne $U(x_n)=U(x_k)$. Si no, elija $U(x_n)$ para que esté entre los dos conjuntos no vacíos $\{U(x_k) | x_k \prec x_n \} \cup \{0\}$ y $\{U(x_k) | x_n \prec x_k \} \cup \{1\}$. Esto es posible ya que, por transitividad, todos los números en el primer conjunto están por debajo de todos los números en el segundo conjunto. Por lo tanto, para cualquier $k, tenemos que $x_n \succeq x_k$ si y solo si $U(x_n) \geq U(x_k)$ y la función $U$ extendida a $\{x_1, ..., x_n\}$ representa las preferencias sobre esos elementos. Para completar la prueba de que $U$ representa $\succeq$, tome dos elementos, $x$ e $y\in X$. Para algunos $k$ y $l$ tenemos que $x=x_k$ y $y=y_l$. Lo anterior aplicado a $n=\max\{k,l\}$ nos da que $x_k \succeq x_l$ si y solo si $U(x_k) \geq U(x_l)$.

Destacé a continuación el paso en la prueba que no pude entender. Intenté trazar una línea numérica o dividir las partes de la declaración, pero no pude comprender.

En caso contrario, elija $U(x_n)$ para que esté entre los dos conjuntos no vacíos $\{U(x_k) > | x_k \prec x_n \} \cup \{0\}$ y $\{U(x_k) | x_n \prec x_k \} \cup > \{1\}$. Esto es posible ya que, por transitividad todos los números en el primer conjunto están por debajo de todos los números en el segundo conjunto.

Además, ¿por qué hemos realizado este paso? ¿Es necesario completar la prueba?

Establezca $U(x_1) =1/2$.

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

1. Si sabemos dónde se encuentra $x_n$ con respecto a los puntos anteriores, necesitamos asignarle a $U(x_n)$ un valor que sea mayor que los valores correspondientes a sus puntos menos preferidos hasta ahora, y un valor menor que los valores correspondientes a sus puntos más preferidos hasta ahora. Tiene que ser de esta manera porque las funciones de utilidad aumentan con respecto a las preferencias (monótonas).
2. $U(x_1)$ no necesita ser $\frac{1}{2}$. Solo necesitamos establecerlo en algún lugar del intervalo como el caso base del proceso inductivo.