Como se dice en los comentarios, el Lemma que mencionas no puede utilizarse para establecer la homogeneidad de grado $0$ en los precios y en la renta de las funciones de demanda, porque sólo es una condición necesaria.
Y la forma obviamente directa de mostrar la homogeneidad es multiplicando las variables en la restricción presupuestaria.
Sin embargo, tu pregunta sobre si es posible demostrar la homogeneidad mediante el Teorema de Euler tiene sentido. Efectivamente, el Teorema de Euler es una condición necesaria y suficiente, y si la demanda es homogénea debe cumplirse, y a la inversa, si se cumple la demanda es homogénea. La cuestión es cómo, en la práctica, mediante cálculos, demostrarlo.
Hay que proceder a encontrar las derivadas de la función de demanda con respecto a los precios y a la renta y comprobar que satisfacen el Teorema de Euler.
¿Cómo se calculan estas derivadas?
Podemos recurrir a la teorema de la función implícita aplicándolo a la condiciones de primer orden del problema de maximización del consumidor, del que se derivan las funciones de demanda.
Me limito al caso de dos bienes, ya que para más bienes los cálculos son engorrosos, y además para dos bienes requieren un poco de paciencia.
$$***$$
Suponiendo que la función de utilidad es diferenciable como es necesario, y asumiendo la no saciedad local, de manera que la restricción presupuestaria se cumple como igualdad, la problema de optimización viene dada por
$$u(x_1,x_2)\;\; \;\;\;max$$ $$ s. t. p_1x_1+p_2x_2=m$$ ,
donde las variables tienen el significado habitual, $m$ es el ingreso.
Utilizando los multiplicadores de Lagrange, $\lambda$ las condiciones de primer orden pueden escribirse como :
$$ m - p_1 x_1(p_1,p_2, m)- p_2 x_2(p_1,p_2, m) = 0. $$
$$ \frac{\partial U( x_1(p_1,p_2, m), x_2(p_1,p_2, m))}{\partial x_1} - \lambda p_1 = 0 $$
$$ \frac{\partial U( x_1(p_1,p_2, m), x_2(p_1,p_2, m))}{\partial x_2} - \lambda p_2 = 0 $$
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son las funciones de demanda $x_i(p_1,p_2, m)$ , $i=1,2$ . Por supuesto, no puede resolverse explícitamente, pero mediante el teorema de la función implícita (si se cumplen sus supuestos) se pueden calcular las derivadas de las funciones de demanda.
$$***$$
Calculemos el derivados de $x_1(p_1,p_2, m)$ con respecto a $p_1, p_2, m$ . Esto puede hacerse de la siguiente manera $^1$ .
Diferenciando las condiciones de primer orden con respecto a $p_1$ y escribiéndolo en forma de matriz tenemos
$$\begin{bmatrix} 0 & -p_1 & -p_2 \\ -p_1 & u_{11} & u_{12} \\ -p_2 & u_{21} & u_{22} \end{bmatrix} \begin {bmatrix} \frac{\partial \lambda}{\partial p_1}\\\frac{\partial x_1}{\partial p_1}\\\frac{\partial x_2}{\partial p_1} \end{bmatrix}= \begin {bmatrix} x_1\\\lambda\\0\end {bmatrix}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$
Usando la regla de Cramer para sistemas tenemos:
$$\frac{\partial x_1}{\partial p_1}= \frac { \begin {vmatrix} 0 & x_1 & -p_2\\ -p_1& \lambda & u_{12}\\ -p_2 & 0& u_{22}\end {vmatrix} }{H} \;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2) $$
donde $H\neq 0$ es el determinante de la hessiana de frontera (el determinante de la primera matriz en $(1)$ ).
Expandiendo el determinante por la segunda columna tenemos
$$\frac{\partial x_1}{\partial p_1}= \lambda \frac { \begin {vmatrix} 0 & -p_2 \\ -p_2 & u_{22} \end{vmatrix}}{H} -x_1 \frac {\begin {vmatrix} -p_1 & u_{12}\\-p_2 & u_{22}\end {vmatrix}} {H}. \;\;\;\;\;\;\;\;\;(3) $$
Del mismo modo, diferenciando las condiciones de primer orden con respecto a $p_2$ y utilizando la regla de Cramer, obtenemos la derivada de $x_1$ con respecto a $p_2$ Es decir
$$\frac {\partial x_1} {\partial p_2}=- \lambda \frac {\begin {vmatrix} 0&-p_2\\-p_1 & u_{12}\end {vmatrix}}{H} -x_2 \frac {\begin {vmatrix} -p_1& u_{12} \\-p_2 & u_{22}\end {vmatrix}}{H} \;\;\;\;\;(4) $$
La tercera derivada, diferenciando las condiciones de primer orden con respecto a $m$ es
$$\frac {\partial x_1} {\partial m}= \frac {\begin {vmatrix} -p_1& u_{12}\\-p_2& u_{22}\end {vmatrix}}{H} \;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$
$$***$$ Si tienes la paciencia de hacer cálculos (considero un milagro no haberme equivocado de signo), puedes comprobar que El teorema de Euler se cumple .
De hecho, tenemos que comprobarlo:
$$\frac {\partial x_1} {\partial p_1} p_1 +\frac {\partial x_1} {\partial p_2} p_2 +\frac {\partial x_1} {\partial m} m=0. \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)$$
Uso de expresiones $(3$ ), $(4)$ et $(5$ ) para las derivadas, y despreciando $H$ que tenemos:
$$(\lambda \begin {vmatrix} 0& -p_2\\-p_2& u_{22}\end {vmatrix} -x_1 \begin {vmatrix} -p_1& u_{12}\\-p_2& u_{22}\end {vmatrix}) p_1+ (-\lambda\begin {vmatrix} 0& -p_2\\-p_1& u_{12}\end {vmatrix}-x_2 \begin {vmatrix} -p_1& u_{12}\\-p_2& u_{22}\end {vmatrix}) p_2+ (\begin {vmatrix} -p_1& u_{12}\\-p_2& u_{22}\end {vmatrix}) m =0. \;\;\;\; (7)$$
Sustitución de $m$ avec $p_1x_1+p_2x_2$ y la fabricación de productos podemos comprobar que $(7)$ y por lo tanto $(6)$ se mantiene.
Hemos visto así que el teorema de Euler se cumple para la demanda de bienes 1, $x_1(p_1, p_2, m)$
El mismo procedimiento puede demostrar que es válido para la demanda del bien 2, $x_2 (p_1,p_2, m)$ .
$$***$$
Digamos de nuevo que esta no es la forma más cómoda de demostrar que las demandas son homogéneas de grado $0$ . Pero podría ser un ejercicio útil para calcular derivadas por el teorema de las funciones implícitas, y verificar la validez del Teorema de Euler en este caso.
$^1$$ \N - Cuando se utilizan 'diferenciales' en el teorema de las funciones implícitas, hay que hacer una advertencia, para no transmitir un mensaje erróneo: el uso}$ $\scriptsize\text {of 'differentials' as above is not rigorous, it is just a shortcut, a useful practical and mnemonic device to make calculations. But}$ $\scriptsize\text {if one looks at the implicit function theorem and its proof, there aren't differentials.}$
