Cómo encontrar todos los equilibrios de Nash de estrategia mixta

Question

Así que me han enseñado a encontrar un único equilibrio de Nash de estrategia mixta en un juego de 2 jugadores asegurando que ambos jugadores son indiferentes a la estrategia que se juega.

Así, por ejemplo:

                    Player 2
                   x      1-x
                   A       B 
Player 1     1   (1,0)   (0,1)
             2   (0,0)   (3,3)

Donde $x$ es la probabilidad de jugar la estrategia A

Entonces, para el jugador 1 intentaríamos encontrar el $EU_i(X)$ (utilidad esperada del jugador i jugando la estrategia X):

$EU_1(1) = x(1) + (1-x)0$

$EU_1(2) = x(0) + (1-x)3$

Entonces, quiero:

$EU_1(1) = EU_1(2)$

$x = 3-3x$

$x = 3/4$

Me preguntaba cómo se hace para encontrar múltiples Equilibrios de Nash de Estrategias Mixtas, si es que existen, así como para demostrar que se han encontrado todos los existentes. Parece que no puedo encontrar muchos recursos en línea.

Sólo llevo unas semanas estudiando la teoría de los juegos, así que tenlo en cuenta :)

Answer 1

En los juegos 2x2 (donde hay dos jugadores y cada uno tiene dos estrategias), esta es la forma de encontrar estrategias mixtas. Los llamados juegos "genéricos" de 2x2 tienen como máximo un equilibrio mixto, mientras que los juegos no genéricos como

                    Player 2
                   A       B 
Player 1     1   (0,0)   (0,0)
             2   (0,0)   (0,0) 

tienen un número infinito. (En el juego anterior, cualquier perfil de estrategia es un equilibrio mixto). Sus ecuaciones de equivalencia de resultados siguen siendo válidas.

En los juegos de dos jugadores en los que éstos pueden tener más de dos estrategias (juegos matriciales con tamaño $m \times n$ el número de equilibrios de Nash puede ser superior a uno, pero sigue siendo finito. Si se supone que el equilibrio es completamente mezclado es decir, todas las estrategias se juegan con probabilidad positiva, los pagos esperados de un jugador siguen siendo los mismos para cada estrategia pura.

No hay un algoritmo fácil para encontrar todos los equilibrios de Nash; se puede suponer que algunas estrategias se juegan con probabilidad 0 y ver si es posible un equilibrio con esta suposición.