Cómo interpretar los coeficientes estandarizados (BETA) en una regresión mixta log-log y log-nivel

Question

Digamos que tenemos un modelo como:

$$log(y) = \beta_{1} + \beta_{2} \cdot log(X_{2})+\beta_{3} \cdot X_{3} + u$$

Tras realizar un MCO, se nos pregunta qué variable independiente tiene un mayor impacto en la variable dependiente, para lo cual nos interesa calcular los coeficientes BETA.

Sé que normalmente (dado un modelo como $y = \beta_{1} + \beta_{2} \cdot X_{2}+\beta_{3} \cdot X_{3} + u$ ) sólo tendríamos que computar:

$$BETA_{2} = \widehat{\beta}_{2} \cdot (S_{x_{2}}/S_{y})$$ $$BETA_{3} = \widehat{\beta}_{3} \cdot (S_{x_{3}}/S_{y})$$

interpretando esos BETA como coeficientes estandarizados; cuanto más altos sean, mayor será el impacto de la variable independiente sobre la variable dependiente.

Pero, tratándose de log-log y log-nivel, sospecho que la comparación no es tan directa, ya que, al interpretar las semielasticidades, hay que tener en cuenta que al aumentar $X_{3}$ por una unidad se asocia a un $(100 \cdot \widehat{\beta}_{3})$ % de aumento en $y$ . Entonces, para estandarizar los coeficientes e interpretarlos, sería

$$BETA_{2} = \widehat{\beta}_{2} \cdot (S_{x_{2}}/S_{y})$$ $$BETA_{3} = 100 \cdot \widehat{\beta}_{3} \cdot (S_{x_{3}}/S_{y})$$

¿es correcto?

Answer 1

$\beta_2$ es aproximadamente la elasticidad de $y$ con respecto a $X_2$ , manteniéndose fijo $X_3$ .

$$y = e^{\beta_1 +\beta_2 ln(X_2)+\beta_3X_3+u}$$ $$\frac{\partial y}{\partial X_2} = \frac{\beta_2}{X_2}e^{\beta_1 +\beta_2 ln(X_2)+\beta_3X_3+u}$$ Podemos introducir que $ y=e^{\beta_1 +\beta_2 ln(X_2)+\beta_3X_3+u}$ , $$\frac{\partial y}{\partial X_2} = \frac{\beta_2}{X_2}y$$

Por una aproximación lineal,

$$\Delta y \approx \frac{\partial y}{\partial X_2} \Delta X_2$$ Introducimos la derivada. $$\Delta y \approx \frac{\beta_2}{X_2}y \Delta X_2$$ Nos reorganizamos, $$\beta_2 \approx \frac{y}{X_2}\frac{\Delta X_2}{\Delta y}$$ Que es una elasticidad.

En términos de "comparación" $\beta_2$ y $\beta_3$ Creo que tenemos que saber cuál es el objetivo. ¿Se trata de la significación estadística? Entonces nos importan las estadísticas t. ¿El objetivo es "más grande"? Creo que el resultado depende de las unidades y tendría que ser evaluado en su contexto. Siéntase libre de seguir y posiblemente pueda editar esta respuesta.