Desde $S = e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t}$ ¿Por qué tratarla como una constante al calcular la Theta griega (dC/dt) para una opción de compra europea?

Question

En pocas palabras, si S depende de 't', por qué tratarlo como una constante al calcular la derivada parcial $\frac{dC}{dt}$ ?

La ecuación para $\frac{dC}{dt}$ en una opción de compra europea es: $\frac{SN'(d_1)\sigma}{2\sqrt{T-t}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_2)$ . Se calcula tomando la derivada de una opción de compra europea con respecto a "t". Sin embargo, ¡S se trata aquí como una constante! ¿No es S también una función de t? $S = e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t}$ Entiendo que hay un componente de ruido blanco en la ecuación, pero $\frac{dS}{dt} = (\mu-\frac{\sigma^2}{2})e^{(\mu-\frac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t} = (\mu-\frac{\sigma^2}{2})S $ Así que no veo por qué iba a importar.

¿Podría alguien aclararme esto?

Answer 1

Voy a hacer caso a la sugerencia de @Bob y convertir mi comentario en una respuesta completa:

Al igual que otras disciplinas, las finanzas utilizan muchos atajos para lograr la brevedad y la comodidad. Esto puede resultar muy confuso para los estudiantes. Por ejemplo, escribimos $\text{d}S_t$ en lugar de integrales, sólo porque es más corto. Formalmente, $\text{d}S_t$ no tiene ningún significado. Es sólo un símbolo que la gente sabe interpretar.

La peor forma de este atajo notacional es la expresión $\frac{\partial C}{\partial S_t}$ . Este símbolo tampoco tiene ningún significado. ¿Qué es una derivada parcial de un proceso estocástico? No está definida. La gente sólo utiliza este símbolo porque es fácil de escribir y todo el mundo sabe lo que significa (con suerte).

Lo que realmente queremos decir

Dejemos que $V:\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ sea una función suficientemente suave con entradas $t$ y $x$ que resuelve la siguiente EDP \begin{align*} \frac{\partial V}{\partial t} + (r-q)x\frac{\partial V}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2x^2\frac{\partial^2V}{\partial x^2}-rV=0, \end{align*} junto con algunas condiciones de contorno. Se trata de una EDP normal y $V$ es una función estándar que asigna partes de $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$ . Aquí no hay finanzas, aleatoriedad o cálculo estocástico. Esto es puro análisis y puedes resolver la EDP utilizando las técnicas habituales del análisis.

Resulta que el valor de una opción de compra emitida sobre una acción con valor $S_t$ viene dada por $C=V(t,S_t)$ . Así que toma su función normal $V$ y luego se sustituye el precio de las acciones por la variable espacial de $V$ . Esto le da el valor de la opción.

¿Cómo se calcula el delta? Se toma la función $V(t,x)$ . Usted diferencia parcialmente wrt $x$ como aprendiste en el cálculo, $V_x(t,x)=\frac{\partial V(t,x)}{\partial x}$ y entonces usted reemplaza $x$ por $S_t$ para obtener el delta de la opción, $\Delta = V_x(t,S_t)$ .

Puede parecer una cuestión técnica, porque lo es. Intuitivamente y por brevedad, a menudo escribimos $\Delta=\frac{\partial C}{\partial S_t}$ porque sabemos lo que realmente queremos decir. Pero esto a menudo provoca preguntas sobre lo que $\frac{\partial C}{\partial S_t}$ significa realmente y si $\partial S_t$ es algo así como $S_{t+\text{d}t}-S_t$ . La respuesta es no y eso no tiene sentido porque el símbolo $\frac{\partial C}{\partial S_t}$ es sólo un atajo sin sentido.

Otro ejemplo

Piensa en el Lemma de Itô. Se empieza con una función suficientemente suave $V(t,x)$ . Luego se escribe su expansión de Taylor \begin{align*} \text{d}V(t,x) = \frac{\partial V(t,x)}{\partial t} \text{d}t + \frac{\partial V(t,x)}{\partial x} \text{d}x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V(t,x)}{\partial t^2} (\text{d}t)^2 + \frac{\partial^2 V(t,x)}{\partial t\partial x} \text{d}t\text{d}x + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V(t,x)}{\partial x^2} (\text{d}x)^2. \end{align*} Es ahora cuando entra el cálculo estocástico y sustituimos $S_t$ para $x$ . Recuerde que $x$ es sólo un marcador de posición : un símbolo por el que podemos sustituir otras cosas. [ Es como escribir un polinomio $p(X)$ en el álgebra lineal y luego sustituir $X$ por una matriz o endomorfismo. No hay problema, $X$ es simplemente un marcador de posición. ] \begin{align*} \text{d}V(t,S_t) = \frac{\partial V(t,S_t)}{\partial t} \text{d}t + \frac{\partial V(t,S_t)}{\partial x} \text{d}S_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V(t,S_t)}{\partial t^2} (\text{d}t)^2 + \frac{\partial^2 V(t,S_t)}{\partial t\partial x} \text{d}t\text{d}S_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V(t,S_t)}{\partial x^2} (\text{d}S_t)^2. \end{align*} Es importante, $\frac{\partial V(t,S_t)}{\partial x}$ significa lo siguiente: tomar la función $V(t,x)$ , diferenciar con respecto a $x$ como se aprendió en el cálculo y entonces sustituir $x$ por $S_t$ . Observe cómo cambia el significado: $\text{d}V(t,x) $ es un objeto del análisis real que es fácil de tratar. La expresión $\text{d}V(t,S_t)$ es ahora una variable aleatoria porque hemos insertado $S_t$ para $x$ . [ Por supuesto, para ser totalmente precisos, deberíamos escribir el Lemma de Itô sólo en forma integral, pero somos demasiado perezosos para hacerlo. Utilizando las propiedades de un movimiento browniano geométrico, la ecuación anterior se convierte en \begin{align*} \text{d}V(t,S_t) = \left(\frac{\partial V(t,S_t)}{\partial t}+\mu S_t\frac{\partial V(t,S_t)}{\partial x}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial^2 V(t,S_t)}{\partial x^2} \right) \text{d}t + \sigma S_t \frac{\partial V(t,S_t)}{\partial x} \text{d}W_t. \end{align*}