aditividad de los subvalores

Question

Cómo demostrarías que siempre que la aditividad represente las preferencias de un agente, entonces también lo hace cualquier función que difiera sólo por la elección de cero y la unidad.

Si suponemos que la aditividad representa las preferencias de un agente, de modo que para algunas funciones de subvalores 1, 2, .... , , (1, 2, ... , ) = 1(1) + 2(2) + ... + ().

y suponer que difiere de sólo por una elección diferente de la unidad y del cero, lo que significa que hay números > 0 y tales que (1, 2, ... , ) = (1, 2, ... , )+.

¿Cómo demostramos que existen funciones de subvalores1,2, ..., tales que (1, 2, ... , ) = 1(1) + 2(2) + ... + ().

Answer 1

Dejemos que $V(a_1,...,a_n)$ sea una utilidad separable aditiva.

$$V(a_1,...,a_n)=\sum_iv_i(a_i)$$

Dejemos que $\alpha>0$ y $\beta\in \mathbb{R}$ se le dará. Sea $U(a_1,..,a_n):=\alpha V(a_1,..,a_n)+\beta$ . $U$ también representa las preferencias. Afirmo que $U(a_1,..,a_n)$ también tiene una representación aditiva

$$U(a_1,...,a_n)=\sum_i\left(\alpha v_i(a_i)+\frac{\beta}{n}\right)$$

Definir $u_i(a_i)=\alpha v_i(a_i)+\frac{\beta}{n}$

$$U(a_1,...,a_n)=\sum_{i}u_i(a_i)$$

Por lo tanto, $U$ también es aditivamente separable