La aplicación de la integración por partes que implica la curva de Lorenz

Question

Estoy leyendo "Sobre la medición de la desigualdad" de Atkinson y estoy teniendo dificultades para entender cómo este documento llega a ciertos resultados, utilizando la integración por partes. Permítanme primero publicar lo que he podido entender y que podría ser necesario para operaciones posteriores:

(3) sigue siendo una integración por partes directa.

Todavía puedo seguir lo que está en la 1ra fila: estamos comparando las 2 distribuciones aquí. Sin embargo, no entiendo cómo se llega al lado derecho en la 2da y 3ra fila. Intenté reproducirlo (con mi conocimiento básico de integración), poniendo un signo negativo delante de $\int\limits_0^{y_1} F(y)dy$ para que se convierta en $-\int\limits_{y_1}^0 F(y)dy$.

Eso me da: $-(-\int\limits_{y_1}^0 F(y)dy - \int\limits_0^{y*_1} F*(y)dy)$,

que luego se convierte en: $\int\limits_{y_1}^0 F(y)dy + \int\limits_0^{y*_1} F*(y)dy$,

que equivaldría a: $\int\limits_{y_1}^{y*_1} F(y)dy$, que es el 1ro dentro de los corchetes en la 3ra fila. Sin embargo, estoy bastante seguro de que esta operación no es correcta, ya que F(y) y F*(y) son funciones diferentes y no se pueden sumar como lo hice allí. Además, aún no sabría cómo se han obtenido los 1ros términos y 2dos términos dentro de los corchetes.

El documento luego continúa diciendo:

No entiendo cómo se habría aplicado el primer teorema del valor medio (para integrales definidas) aquí. No entiendo la relación con la condición (2) o la inferencia a la relación entre f(y) y f*(y). Entonces, tampoco entiendo el siguiente conjunto de operaciones que se dice que se derivan de (3). En particular, no entiendo cómo la definición de la curva de Lorenz implicaría esto:

Answer 1

En cuanto a tu primera pregunta, sobre la segunda desigualdad a continuación:

primero nota que las partes subrayadas en verde son iguales, ya que $\bar F = F(y_1)$

Luego, el texto simplemente descompone una de las integrales después de la primera desigualdad en dos intervalos de integración (ya que la integral es aditiva en intervalos de integración). Es decir, establece:

$\int\limits_0^{y_1} F(y)dy= \int\limits_0^{y^*_1} F(y)dy+ \int\limits_{y^*_1}^{y_1} F(y)dy$

Por lo tanto, tenemos:

$-[\int\limits_0^{y_1} F(y)dy- \int\limits_0^{y^*_1} F^*(y)dy]=-[\int\limits_0^{y^*_1} F(y)dy+ \int\limits_{y^*_1}^{y_1} F(y)dy-\int\limits_0^{y^*_1} F^*(y)dy]=-\int\limits_0^{y^*_1} (F(y)-F^*(y))dy+\int\limits_{y_1}^{y^*_1} F(y)dy$ .

(nota que en la última integral, los extremos de integración han sido intercambiados).

$\Box$

Paso 2 de la respuesta.

No entiendo cómo se habría aplicado aquí el primer teorema del valor medio (para integrales definidas).

El texto que citaste dice:

Aplicando el primer teorema del valor medio, el segundo término es positivo.

Supongo que se refiere al segundo término de la igualdad reportada arriba en el texto, que es

$\int\limits_{y_1}^{y^*_1} F(y)dy- (y^*_1-y_1) F(y_1).\;\;\;\;\; (1)$

Para el teorema del valor medio podemos escribir:

$\int\limits_{y_1}^{y^*_1} F(y)dy=(y^*_1-y_1)F(\xi)$,

donde $\xi \in (y_1, y^*_1)$.

Dado que $F$ es creciente, $F(\xi)>F(y_1)$, por lo tanto, (1) es positivo.