Estoy leyendo "Sobre la medición de la desigualdad" de Atkinson y estoy teniendo dificultades para entender cómo este documento llega a ciertos resultados, utilizando la integración por partes. Permítanme primero publicar lo que he podido entender y que podría ser necesario para operaciones posteriores:
(3) sigue siendo una integración por partes directa.
Todavía puedo seguir lo que está en la 1ra fila: estamos comparando las 2 distribuciones aquí. Sin embargo, no entiendo cómo se llega al lado derecho en la 2da y 3ra fila. Intenté reproducirlo (con mi conocimiento básico de integración), poniendo un signo negativo delante de $ \int\limits_0^{y_1} F(y)dy $ para que se convierta en $ -\int\limits_{y_1}^0 F(y)dy $.
Eso me da: $ -(-\int\limits_{y_1}^0 F(y)dy - \int\limits_0^{y*_1} F*(y)dy) $,
que luego se convierte en: $ \int\limits_{y_1}^0 F(y)dy + \int\limits_0^{y*_1} F*(y)dy $,
que equivaldría a: $ \int\limits_{y_1}^{y*_1} F(y)dy $, que es el 1ro dentro de los corchetes en la 3ra fila. Sin embargo, estoy bastante seguro de que esta operación no es correcta, ya que F(y) y F*(y) son funciones diferentes y no se pueden sumar como lo hice allí. Además, aún no sabría cómo se han obtenido los 1ros términos y 2dos términos dentro de los corchetes.
El documento luego continúa diciendo:
No entiendo cómo se habría aplicado el primer teorema del valor medio (para integrales definidas) aquí. No entiendo la relación con la condición (2) o la inferencia a la relación entre f(y) y f*(y). Entonces, tampoco entiendo el siguiente conjunto de operaciones que se dice que se derivan de (3). En particular, no entiendo cómo la definición de la curva de Lorenz implicaría esto: 
