Intuición de simultaneidad para términos de error correlacionados

Question

Estoy leyendo Asymptotic Theory for Econometricians (Teoría asintótica para economistas) de Halbert White y estoy tratando de entender la intuición de las situaciones en las que los errores estarían correlacionados.

Este es el montaje:

$Y_{t1} = Y_{t2}\alpha_o + \pmb W_{t1}^T \pmb \delta_o + \epsilon_{t1}, E(\pmb W_{t1}\epsilon_{t1}) = 0$

$Y_{t2} = \pmb W_{t2}^T\pmb \gamma_o + \epsilon_{t2}, E(\pmb W_{t2}\epsilon_{t2}) = 0$

Hay un par de supuestos más pero el que me cuesta razonar es $E(\epsilon_{t1}\epsilon_{t2}) \neq 0$ . ¿Cuáles serían algunos escenarios intuitivos para cuando se espera esto?

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Editar:

Utilizando un marco univariante, así es como entiendo actualmente la simultaneidad (podría estar muy equivocado):

Supongamos que el modelo $y_1 = xb + \epsilon$ . Ya sabemos que \begin{align} \frac{cov(x,y_1)}{var(x)} = \hat b \end{align}

Sustituyendo la ecuación de $y_1$ y simplificando obtenemos que $b = \hat b$ .

Supongamos ahora que tenemos un problema de simultaneidad. En particular, descubrimos que el modelo debería ser $y_1 = y_2a + xb + \epsilon$ donde $y_2 = x b_2 + \epsilon_2$ .

Entonces lo que nuestro erróneo $\hat b$ es realmente igual a es:

\begin{align} \hat b = \frac{cov(x,y_1)}{var(x)} = \frac{cov(x,y_2a + xb + \epsilon_2)}{var(x)} = \frac{a\ cov(y_2,x)}{var(x)} + b \neq b \end{align}

que es un término de sesgo bastante simple para mí:

\begin{align} \text{bias} &= \frac{a\ cov(y_2,x)}{var(x)}\\ &= \frac{a\ cov(x b_2 + \epsilon_2,x)}{var(x)} \\& = a b_2 \end{align}

Pero este argumento de la simultaneidad no parece $cov(\epsilon_1, \epsilon_2) \neq 0$ a mí. Realmente sólo parece OVB jaja

Answer 1

Prácticamente todos los escenarios de las ciencias sociales cumplen los requisitos, de hecho es mucho más difícil encontrar casos en los que no se aplique. Consideremos los ejemplos clásicos:

La educación permite a las personas obtener mayores ingresos. Sin embargo, las personas con mayores ingresos pueden permitirse más educación. Esto da lugar a $E[\epsilon_1,\epsilon_2] \neq 0$ ya que una mayor renta provoca la educación, pero la educación provoca una mayor renta.

O, por ejemplo, considere el gasto en la policía. Un mayor gasto en policía debería reducir la delincuencia. Sin embargo, los países con mayor delincuencia necesitan gastar más en la vigilancia. Una mayor vigilancia hace que disminuya la delincuencia, pero una mayor delincuencia hace que aumente la vigilancia.

Los dos anteriores son sólo ejemplos clásicos, prácticamente todos los problemas de las ciencias sociales tendrán una violación más o menos evidente de $E[\epsilon_1,\epsilon_2] \neq 0$ . Es muy raro encontrar problemas de ciencias sociales en los que no sea así.

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Matemáticamente el $E[\epsilon_1,\epsilon_2] \neq 0$ por lo siguiente:

Supongamos que tenemos causalidad inversa por lo que tenemos un modelo estructural dado por:

$$y_i= \beta_1 x_i+ \gamma_1z_i+\epsilon_1 \\ z_i=\beta_2x_i+\gamma_2y_i+\epsilon_2 $$

Ahora, en la primera ecuación, por supuesto $E(z_{i}u_{i})\neq 0$ . Si ahora sustituimos la segunda ecuación por la primera y resolvemos $z$ asumiendo que $1-\gamma_{1}\gamma_{2}\neq 0$ nos lleva

$$z_{i}={\frac {\beta _{2}+\gamma _{2}\beta _{1}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}x_{i}+{\frac {1}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\epsilon_1+\frac{\gamma _{2}}{1-\gamma_1\gamma_2}\epsilon_2$$

Suponiendo que $x$ y $\gamma$ no están correlacionados entonces obtenemos:

$$E[z, \epsilon_2]={\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\operatorname {E} (\epsilon_1,\epsilon_2)\neq 0 \implies E(\epsilon_1,\epsilon_2)\neq 0 $$