Pronósticos a varios pasos en ecuaciones GARCH

Question

Si mis pronósticos de un paso adelante de GARCH(1,1)-X son: \begin{equation} \hat{h}_{t+1} = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \hat{u}^2_t + \hat{\beta}_1 \hat{h}_t + \hat{\psi} X_t \end{equation} Donde $\hat{\alpha}_0,\, \hat{\alpha}_1,\,\hat{u}^2_t,\, \hat{\beta},\, \hat{h}_t$ y $ \hat{\psi}$ denotan las estimaciones de GARCH(1,1)-X de $\alpha_0, \alpha_1,u^2_t, \beta_1, h_t, \psi$ respectivamente.

También, los pronósticos de un paso adelante de GJR-GARCH(1,1) son: \begin{equation} \hat{h}_{t+1} = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \hat{u}^2_t + \hat{\beta}_1 \hat{h}_t + \hat{\gamma} \hat{u}^2_{t}I_{u_{t}<0} +\hat{\psi} X_t \end{equation} Donde $\hat{\alpha}_0,\, \hat{\alpha}_1,\,\hat{u}^2_t,\, \hat{\beta},\, \hat{h}_t,\, \hat{\gamma}$ y $ \hat{\psi}$ denotan las estimaciones de GJR-GARCH(1,1)-X de $\alpha_0, \alpha_1,u^2_t, \beta_1, h_t, \gamma$ y $ \psi$ respectivamente.

¿Cómo puedo escribir los pronósticos para h pasos adelante (h>1) para ambas ecuaciones, GARCH(1,1)-X y GJR-GARCH(1,1)-X?

Answer 1

$k$-forecast de GJR-GARCH:

Definimos brevemente el proceso de retorno ajustado siguiendo tu notación: \begin{align*} r_{t+1} &= u_{t+1}\\ u_{t+1} &= \sqrt{h_{t+1}} z_{t+1}, \end{align*} donde $z_{t+1} \overset{iid}{\sim} D(0,1)$ es una distribución estandarizada y $h_{t+1}$ sigue el modelo GJR-GARCH:

$$ h_{t+1} = \alpha_0 + \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}. $$

Los pronósticos a 1 paso para modelos GARCH son conocidos en el tiempo $t$ por construcción, por lo tanto, nos enfocaremos en los pronósticos a 2 y 3 pasos del modelo GJR-GARCH.

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Obtenemos el pronóstico a 2 pasos siguiendo el mismo razonamiento proporcionado en [1]:

\begin{align} \mathbb{E}_t\left[h_{t+2}\right] &= \alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}_t\left{u^2_{t+1}\right} + \gamma \mathbb{E}_t\left{u^2_{t+1} I_{\{u_{t+1}<0\}}\right} + \beta_1 \mathbb{E}_t\left{h_{t+1}\right}\\ &=\alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}_t\left{h_{t+1}\right} + \gamma \mathbb{E}_t\left{h_{t+1}\right} \mathbb{E}_t\left{I_{\{u_{t+1}<0\}}\right} + \beta_1 \mathbb{E}_t\left{h_{t+1}\right}\\ &\overset{\star}{=} \alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}_t\left{h_{t+1}\right} + \frac{\gamma}{2} \mathbb{E}_t\left{h_{t+1}\right} + \beta_1 \mathbb{E}_t\left{h_{t+1}\right}\\ &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)\mathbb{E}_t\left{h_{t+1}\right}\\ &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \left(\alpha_0 + \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}\right)\\ &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 +\left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \left(\alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}\right) \end{align}

donde en $(\star)$ hemos asumido que la distribución de $u_t$ es simétrica alrededor de 0, por lo tanto, $\mathbb{E}_t\left{u^2_{t+1}\right} \mathbb{E}_t\left{I_{\{u_{t+1}<0\}}\right} = \frac{1}{2}\mathbb{E}_t\left{h_{t+1}\right}$. ^{[1]}

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Puedes derivar el pronóstico a 3 pasos de manera similar y obtener lo siguiente:

$\displaystyle{ \begin{align*} \mathbb{E}_t\left{h_{t+3}\right} &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2 \mathbb{E}_t\left{h_{t+1}\right}\\ &=\alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2\left(\alpha_0 + \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}\right)\\ &=\alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2 \alpha_0 \\ &+ \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2 \left( \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}\right) \end{align*} }$

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De estos dos ejemplos podemos observar las características recursivas de la ecuación de pronóstico a varios pasos. Entonces, el pronóstico a $k$ pasos para $k \geq 2$ es:

$$ \mathbb{E}_t\left{h_{t+k}\right} = \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_0 \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^i + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^{k-1} \left(\alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}\right) $$

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[1]: La igualdad y las derivaciones correspondientes se encuentran en las páginas 28 a 29 en _Zivot, E. (2009). Practical issues in the analysis of univariate GARCH models._ si deseas citar una fuente.