Previsiones de varios pasos por delante en ecuaciones GARCH

Question

Si mis previsiones de un paso adelante de GARCH(1,1)-X son: \begin{equation} \hat{h}_{t+1} = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \hat{u}^2_t + \hat{\beta}_1 \hat{h}_t + \hat{\psi} X_t \end{equation} Donde $\hat{\alpha}_0,\, \hat{\alpha}_1,\,\hat{u}^2_t,\, \hat{\beta},\, \hat{h}_t$ y $ \hat{\psi}$ denotan las estimaciones GARCH(1,1)-X de $\alpha_0, \alpha_1,u^2_t, \beta_1, h_t, \psi$ respectivamente.

Además, las previsiones de un paso adelante de un GJR-GARCH(1,1) son: \begin{equation} \hat{h}_{t+1} = \hat{\alpha}_0 + \hat{\alpha}_1 \hat{u}^2_t + \hat{\beta}_1 \hat{h}_t + \hat{\gamma} \hat{u}^2_{t}I_{u_{t}<0} +\hat{\psi} X_t \end{equation} Donde $\hat{\alpha}_0,\, \hat{\alpha}_1,\,\hat{u}^2_t,\, \hat{\beta},\, \hat{h}_t,\, \hat{\gamma}$ y $ \hat{\psi}$ denotan las estimaciones GJR-GARCH(1,1)-X de $\alpha_0, \alpha_1,u^2_t, \beta_1, h_t, \gamma$ y $ \psi$ respectivamente.

¿Cómo puedo escribir el paso adelante h (h>1) para ambas ecuaciones el GARCH(1,1)-X y el GJR-GARCH(1,1)-X?

Answer 1

$k$ -Previsiones por adelantado del modelo GJR-GARCH:

Definamos brevemente el proceso de retorno degradado siguiendo su notación: \begin{align*} r_{t+1} &= u_{t+1}\\ u_{t+1} &= \sqrt{h_{t+1}} z_{t+1}, \end{align*} donde $z_{t+1} \overset{iid}{\sim} D(0,1)$ es una distribución normalizada y $h_{t+1}$ sigue el modelo GJR-GARCH:

$$ h_{t+1} = \alpha_0 + \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}. $$

Las previsiones de un paso adelante para los modelos GARCH se conocen en el momento $t$ por construcción, y como tal, centraremos nuestra atención en las previsiones de 2 y 3 pasos adelante para el modelo GJR-GARCH.

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Logramos el Previsión en dos pasos siguiendo la misma argumentación prevista en [1] :

\begin{align} \mathbb{E}_t\left[h_{t+2}\right] &= \alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}_t\left[u^2_{t+1}\right] + \gamma \mathbb{E}_t\left[u^2_{t+1} I_{\{u_{t+1}<0\}}\right] + \beta_1 \mathbb{E}_t\left[h_{t+1}\right]\\ &=\alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}_t\left[h_{t+1}\right] + \gamma \mathbb{E}_t\left[h_{t+1}\right] \mathbb{E}_t\left[I_{\{u_{t+1}<0\}}\right] + \beta_1 \mathbb{E}_t\left[h_{t+1}\right]\\ &\overset{\star}{=} \alpha_0 + \alpha_1 \mathbb{E}_t\left[h_{t+1}\right] + \frac{\gamma}{2} \mathbb{E}_t\left[h_{t+1}\right] + \beta_1 \mathbb{E}_t\left[h_{t+1}\right]\\ &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)\mathbb{E}_t\left[h_{t+1}\right]\\ &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \left(\alpha_0 + \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}\right)\\ &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 +\left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \left(\alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}\right) \end{align}

donde nosotros en $(\star)$ han asumido que la distribución de $u_t$ es simétrica respecto a 0, de manera que $\mathbb{E}_t\left[u^2_{t+1}\right] \mathbb{E}_t\left[I_{\{u_{t+1}<0\}}\right] = \frac{1}{2}\mathbb{E}_t\left[h_{t+1}\right]$ . $^{[1]}$

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Puede derivar el Previsión en 3 pasos de forma similar y obtenemos lo siguiente:

$\displaystyle{ \begin{align*} \mathbb{E}_t\left[h_{t+3}\right] &= \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2 \mathbb{E}_t\left[h_{t+1}\right]\\ &=\alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2\left(\alpha_0 + \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}\right)\\ &=\alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right) \alpha_0 + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2 \alpha_0 \\ &+ \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^2 \left( \alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}\right) \end{align*} }$

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A partir de estos dos ejemplos podemos observar las características recursivas de la ecuación de previsión de varios pasos. Así, el $k$ -Previsión anticipada para $k \geq 2$ está dada por:

$$ \mathbb{E}_t\left[h_{t+k}\right] = \sum_{i=0}^{k-1} \alpha_0 \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^i + \left(\alpha_1 + \frac{\gamma}{2} + \beta_1\right)^{k-1} \left(\alpha_1u_t^2 + \beta_1 h_t + \gamma u_t^2 I_{\{u_t<0\}}\right) $$

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[1]: La igualdad y las derivaciones correspondientes se encuentran en las páginas 28 y 29 de _Zivot, E. (2009). Cuestiones prácticas en el análisis de modelos GARCH univariantes._ si quiere citar una fuente.