Estoy tratando de entender una prueba de dominancia estocástica de primer orden

Question

Aquí está el teorema, que consiste en 2 afirmaciones:

Con la ayuda de esto se demuestra la equivalencia:

Hay dos cosas que no entiendo. En primer lugar, ¿por qué $ U(x).H(x)|\infty, 0 = 0 $ . Y en segundo lugar, para llegar a $[F(x) - G(x)] \leq 0$ de esa prueba. Conozco la definición de integración por partes, pero no soy ningún héroe con ella y no he sido capaz de encontrar la forma de la afirmación 2 por mi cuenta. Me imagino que una parte debe consistir en sustituir $\int U(x)h(x)dx$ con $-\int U'(x)h(x)dx$ , lo que me daría $\int U'(x)h(x)dx \leq 0$ pero eso es lo más lejos que puedo llegar. Por favor, para tratar de llanura en su respuesta, no me parece fácil de tratar con la jerga y la abstracción profunda.

Answer 1

[...] integración por partes [...]

Recordemos la fórmula de integración por partes: $\int_a^b u\,\mathrm dv = uv\vert_a^b - \int_a^b v\,\mathrm du$ . Ahora dejemos que $u=U$ y $v = H$ (para que $\mathrm dv = \mathrm dH = h\,\mathrm dx$ . Entonces \begin{align} \int_0^\infty \underbrace{U(x)}_{u}\,\underbrace{h(x)\mathrm dx}_{\mathrm dv} &= \underbrace{U(x)}_u\,\underbrace{H(x)}_{v}\bigg\vert_0^\infty - \int_0^\infty \underbrace{H(x)}_{v}\,\underbrace{\mathrm dU(x)}_{\mathrm du} \\ &=U(x)H(x)\bigg\vert_0^\infty - \int_0^\infty H(x)\, U'(x) \mathrm dx \end{align} Esto da lugar a la línea central en su segunda imagen.

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por qué $U(x)H(x)\vert_0^\infty=0$ ?

Tenga en cuenta que $H(x)=[F(x)-G(x)]$ y que $F(0)=G(0)=0$ y $\lim_{x\to\infty}F(x)=\lim_{x\to\infty}G(x)=1$ porque $F$ y $G$ son funciones de distribución acumulativa con soporte en $[0,\infty)$ . Por lo tanto, $H(0)=\lim_{x\to\infty}H(x)=0$ .

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para llegar a $[F(x)G(x)]0$

Dado el supuesto de que la utilidad es no decreciente, es decir $U'(x)\ge0$ se deduce que $H(x)=F(x)-G(x)\le0$ por cada $x$ asegura $$-\int U'(x)H(x)\mathrm dx \ge 0$$ demostrando así que la afirmación (2) implica la afirmación (1).