Prueba de cuasi-concavidad y concavidad

Question

Dejemos que $f_1,…, f_m$ sean funciones cuasicóncavas sobre un subconjunto convexo X en $IR^n$ . Sea $p_1,…, p_m$ sean números reales no negativos.

Entonces, ¿cómo puedo demostrar que $\sum_{i=1}^mp_if_i $ ¿es también una función cuasi-cóncava?

Del mismo modo, dejemos que $g_1,…, g_m$ sean funciones cóncavas sobre un subconjunto convexo X en $IR^n$ . Sea $p_1,…, p_m$ sean números reales no negativos.

Entonces, ¿cómo puedo demostrar que $\sum_{i=1}^mp_ig_i $ ¿es también una función cóncava?

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Si $f_i$ es cuasicóncava entonces, $\{u,v\}\in$ dominio de f para $0<a<1$ y para $f_i(u)> f_i(v)$ $f_i(au+(1-a)v)\ge f_i(v)$

Del mismo modo, para la concavidad, $g_i(au+(1-a)v)\ge ag_i(u)+(1-a)g_i(v)$

Y entonces, ¿cómo puedo proceder a la prueba?

Gracias. Toda ayuda será apreciada.

*Pregunta duplicada

Answer 1

Dejemos que $f_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea dada por $f_1(x)=0$ para $x<0$ y $f_1(x)=x^2$ para $x\geq 0$ . Además, deja que $f_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea dada por $f_2(x)=x^2$ para $x<0$ y $f_2(x)=0$ para $x\geq 0$ . Ambos $f_1$ y $f_2$ son cuasi-cóncavas pero su suma $f_1+f_2$ dado por $(f_1+f_2)(x)=x^2$ para todos $x\in\mathbb{R}$ no es cuasicóncava.

Sin embargo, el resultado es válido para las funciones cóncavas. Demuestre que si $p\geq 0$ y $f$ es cóncava, entonces $pf$ también es cóncava. Entonces demuestre que si $f$ y $g$ son cóncavos, entonces $f+g$ también es cóncava. El resto se deduce por inducción.