Encontrar asignaciones óptimas de Pareto y asignaciones de equilibrio walrasiano en el caso de 3 bienes

Question

Tenemos 3 personas y 3 bienes

$$U_A(x,y,z)=x_Ay_Az_A^2$$

$$U_B(x,y,z)=x_B^2y_Bz_B$$

$$U_C(x,y,z)=x_Cy_C^2z_C$$

Las dotaciones son $W_A= (1,1,1)$

$W_B= (2,1,3)$

$W_C= (1,5,1)$

Estoy confundido debido a la presencia de tres bienes

En el caso de dos bienes, puedo encontrar MRS= $\partial U_x/\partial U_y$

Ahora, ¿cómo se puede encontrar el MRS para obtener las asignaciones óptimas de Pareto y el equilibrio walrasiano?

Se agradecerá cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Optimidad de Pareto:

Como las preferencias son convexas en su caso, se puede encontrar la optimalidad de Pareto de la misma manera. Hay que resolver $\text{MRS}^{A}_{v,w} = \text{MRS}^{B}_{v,w} = \text{MRS}^{C}_{v,w}$ donde $\{v,w : v \neq w\} \subset \{x,y,z\}$ .

La razón por la que esto funciona es porque se puede maximizar $U_A$ con sujeción a $U_B = \overline{u_B}$ y $U_C = \overline{u_C}$ y de forma similar para los otros dos agentes. Dado que sus funciones de utilidad son convexas, cuando establezca el Lagrangiano, encontrará que los MRS tienen que ser iguales entre sí.

Equilibrio walrasiano:

Tienes que resolver los siguientes (tres) problemas de maximización: $$\max [U_P(x_P,y_P,z_P)] \text{ subject to } p_xx_P + p_y y_P + p_z z_P = p_x w_x^A + p_y w_y^A + p_z w_z^A$$

para cada $P \in \{A, B, C\}$ . Podrá encontrar $p_x : p_y : p_z$ y las asignaciones.

Además, se puede comprobar que estos puntos se encuentran en el conjunto óptimo de Pareto debido a la primer teorema del bienestar .

Answer 2

Para añadir a mi respuesta anterior (y para responder a tu comentario), el conjunto de ecuaciones para la optimalidad de Pareto incluye las ecuaciones de MRS y las ecuaciones de viabilidad.

Ecuaciones MRS: \begin{align} \text{MRS}^A_{x,y} = \text{MRS}^B_{x,y} = \text{MRS}^C_{x,y} &\iff \frac{\frac{\partial U_A}{\partial x}}{\frac{\partial U_A}{\partial y}} = \frac{\frac{\partial U_B}{\partial x}}{\frac{\partial U_B}{\partial y}} = \frac{\frac{\partial U_C}{\partial x}}{\frac{\partial U_C}{\partial y}} \\ &\iff \frac{y_A z_A^2}{x_A z_A^2} = \frac{2x_By_Bz_B}{x_B^2z_B} = \frac{y_C^2z_C}{x_Cy_Cz_C} \tag{1} \\ \text{MRS}^A_{y,z} = \text{MRS}^B_{y,z} = \text{MRS}^C_{y,z} &\iff \frac{\frac{\partial U_A}{\partial y}}{\frac{\partial U_A}{\partial z}} = \frac{\frac{\partial U_B}{\partial y}}{\frac{\partial U_B}{\partial z}} = \frac{\frac{\partial U_C}{\partial y}}{\frac{\partial U_C}{\partial z}}\tag{2} \\ \text{MRS}^A_{z,x} = \text{MRS}^B_{z,x} = \text{MRS}^C_{z,x} &\iff \frac{\frac{\partial U_A}{\partial z}}{\frac{\partial U_A}{\partial x}} = \frac{\frac{\partial U_B}{\partial z}}{\frac{\partial U_B}{\partial x}} = \frac{\frac{\partial U_C}{\partial z}}{\frac{\partial U_C}{\partial x}} \tag{3} \end{align}

Las asignaciones de viabilidad son: $$x_A + y_A + z_A = 1 + 2 + 1 = 4 \tag{4}$$ $$x_B + y_B + z_B = 1 + 1 + 5 = 7 \tag{5}$$ $$x_C + y_C + z_C = 1 + 3 + 1 = 5 \tag{6}$$

Las ecuaciones $1-6$ combinado le dará las asignaciones finales de Pareto Eficiente.