Mi intento.
Creo que no se puede decir de antemano si $x=t=z$ es la solución óptima o no, ya que depende de los precios de los bienes.
Primero, fíjate que no puede ser $x=z=0$ Si no es así $\max U$ será $0$ . Y, por la misma razón, debe ser $y\neq0$ .
Así que tenemos dos casos:
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$x\neq0$ , $y\neq0$ , $z\neq0$ , $y\neq0$ ..
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$x$ o $z$ son $0$ (es lo mismo), digamos $z=0$ , $y\neq0$ .
Dejemos que $p_xx+p_yy+p_zz=K$ sea la línea presupuestaria , $K$ es el ingreso.
Primer caso , $x\neq0$ , $y\neq0$ , $z\neq0$ .
En este caso el $U$ se maximiza si $x=y=z$$ ^{[1]}$ .
A partir de la ecuación del presupuesto, la solución óptima es :
$x=y=z=\frac{K}{p_x+p_y+p_z}$ ,
y el valor correspondiente de la función objetivo $U$ , digamos que $U_1$ es:
$U_1=\frac{2K}{p_x+p_y+p_z}$ .
Segundo caso. $z=0$ , $x\neq0, y\neq0$ .
En este caso el $U$ se maximiza si $x=y^{[1]}$ .
A partir de la ecuación del presupuesto, la solución óptima es :
$x=y=\frac{K}{p_x+p_y}$ ,
y el valor correspondiente de la función objetivo $U$ , digamos que $U_2$ es:
$U_2=\frac{K}{p_x+p_y}$ .
Por lo tanto, $U_1\leq U_2 \Leftrightarrow $ $(\frac{2K}{p_x+p_y+p_z}\leq \frac{K}{p_x+p_y}) \Leftrightarrow (p_z\geq p_x+p_y$ ).
Por lo tanto, sería conveniente elegir $z=0$ si se cumple la última desigualdad. En caso contrario, es conveniente la otra solución.
$$***$$
Desde un punto de vista intuitivo, se puede decir que si el precio de un bien, en nuestro caso $z$ , es "muy alta", es conveniente establecer $z=0$ y concentrar nuestras compras en los otros dos bienes.
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[1] Debería estar justificado, pero creo que es suficientemente intuitivo.
