Puede que todo lo que necesites esté en los vídeos de Youtube que ha citado Amit más arriba, pero yo añadiría algunas observaciones concisas, principalmente a través de ejemplos, que espero que puedan ser útiles para ti y otros colaboradores.
Empecemos por el punto 3 de su pregunta.
Punto 3.
Para tener una comprensión sencilla e intuitiva del concepto de cuasi-concavidad, podría ser conveniente ver el concepto simétrico de cuasi-convexidad para funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ .
(Usar la cuasi-convexidad sería lo mismo, ya que la cuasi-convexidad es la cuasi-convexidad con el signo menos antes. Yo uso la cuasi-convexidad porque creo que las imágenes y las fórmulas son más claras).
El definición formal es: una función $f$ de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ es cuasi-convexo si, $\forall \alpha \in \mathbb{R}$ el conjunto
$$\{x\in D: f(x)<\alpha\},$$
donde $D$ es el domani de $f$ es convexo .
En la imagen de abajo hay un ejemplo de una función no cuasi-convexa y de una función cuasi-convexa que no es convexa.
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En la primera imagen tenemos una función no cuasi-convexa, $f(x)= x^2(x^2-2)$ : el conjunto de puntos para los que $f(x)$ está bajo la línea verde es la unión de los dos intervalos rojos, y no es convexo.
La segunda imagen muestra la función $f(x)=\sqrt|x|$ que es cuasi-convexo, pero no convexo.
Punto 1.
¿cómo puede la función ser cuasi-cóncava y la curva trazada ser convexa?
Recuerda que las curvas de indiferencia son curvas de nivel de una función de utilidad. Una función cuasi-cóncava peut por supuesto, tienen curvas de nivel convexas.
Veamos un ejemplo, de una función de $\mathbb{R^2}$ a $\mathbb{R}$ .
Considere una Función de utilidad Cobb-Douglas , $U(x,y)= kx^\alpha y ^{1-\alpha}$ , $x,y\geq0$ , $k \in R_+$ et $\alpha \in (0,1)$ .
El Cobb Douglas es estrictamente cóncavo, por lo que es cóncavo, por lo que es cuasi-cóncavo. Las curvas de indiferencia son convexas.
Se puede tener una idea intuitiva a partir de la siguiente imagen, donde se representan las gráficas del Cobb Douglas en tres dimensiones, y de sus curvas de nivel (curvas de indiferencia).
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Si se calculan analíticamente las curvas de nivel del Cobb-Douglas, se puede ver que son convexas.
Por ejemplo, para $k=1$ y $\alpha=1/2$ tenemos las hipérbolas
$$ y=c^2/x,$$ $c\in R$ , para $x>0$ .
Punto 2.
La cuasi-concavidad implica concavidad, así que puedo demostrar que la utilidad es cóncava para demostrar que las curvas de ID son convexas? La concavidad se puede demostrar a través de una matriz hessiana de segundas derivadas, ¿verdad?
Creo que has cometido una errata, lo contrario de lo que has escrito es cierto: la concavidad implica la cuasi-concavidad (la cuasi-concavidad es una propiedad más débil), por lo que basta con demostrar la concavidad.
La concavidad se puede demostrar mediante segundas derivadas para funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ o a través de la matriz hessiana, para funciones de $\mathbb{R^n}$ a $\mathbb{R}$ pero siempre que la función de utilidad sea diferenciable como es necesario.
Por ejemplo, no se puede demostrar la convexidad de $f(x))= |x|$ utilizando las derivadas, porque esta función no es diferenciable en todo $\mathbb{R}$ ( no es diferenciable en $0$ ).
