Puede que todo lo que necesites esté en los vídeos de Youtube que ha citado Amit más arriba, pero yo añadiría algunas observaciones concisas, principalmente a través de ejemplos, que espero que puedan ser útiles para ti y otros colaboradores.
Empecemos por el punto 3 de su pregunta.
Punto 3.
Para tener una comprensión sencilla e intuitiva del concepto de cuasi-concavidad, podría ser conveniente ver el concepto simétrico de cuasi-convexidad para funciones de R a R .
(Usar la cuasi-convexidad sería lo mismo, ya que la cuasi-convexidad es la cuasi-convexidad con el signo menos antes. Yo uso la cuasi-convexidad porque creo que las imágenes y las fórmulas son más claras).
El definición formal es: una función f de R a R es cuasi-convexo si, ∀α∈R el conjunto
{x∈D:f(x)<α},
donde D es el domani de f es convexo .
En la imagen de abajo hay un ejemplo de una función no cuasi-convexa y de una función cuasi-convexa que no es convexa.
En la primera imagen tenemos una función no cuasi-convexa, f(x)=x2(x2−2) : el conjunto de puntos para los que f(x) está bajo la línea verde es la unión de los dos intervalos rojos, y no es convexo.
La segunda imagen muestra la función f(x)=√|x| que es cuasi-convexo, pero no convexo.
Punto 1.
¿cómo puede la función ser cuasi-cóncava y la curva trazada ser convexa?
Recuerda que las curvas de indiferencia son curvas de nivel de una función de utilidad. Una función cuasi-cóncava peut por supuesto, tienen curvas de nivel convexas.
Veamos un ejemplo, de una función de R2 a R .
Considere una Función de utilidad Cobb-Douglas , U(x,y)=kxαy1−α , x,y≥0 , k∈R+ et α∈(0,1) .
El Cobb Douglas es estrictamente cóncavo, por lo que es cóncavo, por lo que es cuasi-cóncavo. Las curvas de indiferencia son convexas.
Se puede tener una idea intuitiva a partir de la siguiente imagen, donde se representan las gráficas del Cobb Douglas en tres dimensiones, y de sus curvas de nivel (curvas de indiferencia).
Si se calculan analíticamente las curvas de nivel del Cobb-Douglas, se puede ver que son convexas.
Por ejemplo, para k=1 y α=1/2 tenemos las hipérbolas
y=c2/x, c∈R , para x>0 .
Punto 2.
La cuasi-concavidad implica concavidad, así que puedo demostrar que la utilidad es cóncava para demostrar que las curvas de ID son convexas? La concavidad se puede demostrar a través de una matriz hessiana de segundas derivadas, ¿verdad?
Creo que has cometido una errata, lo contrario de lo que has escrito es cierto: la concavidad implica la cuasi-concavidad (la cuasi-concavidad es una propiedad más débil), por lo que basta con demostrar la concavidad.
La concavidad se puede demostrar mediante segundas derivadas para funciones de R a R o a través de la matriz hessiana, para funciones de Rn a R pero siempre que la función de utilidad sea diferenciable como es necesario.
Por ejemplo, no se puede demostrar la convexidad de f(x))=|x| utilizando las derivadas, porque esta función no es diferenciable en todo R ( no es diferenciable en 0 ).