No creo que se pueda responder a su pregunta. Supongamos que $X=e^{\mu+\sigma Z}$ es log-normal, es decir, positivo. Por lo tanto, $\mathbb{E}[\max\{0,X\}]=\mathbb{E}[X] $ y $\mathbb{E}[\min\{0,X\}]=0$ . De sólo saber $\mathbb{E}[X]$ no se puede concluir lo que $\mathbb{E}[f(X)]$ es para una función arbitraria $f$ . Una implicación de tu afirmación es que la media caracteriza completamente la distribución de las variables aleatorias positivas, lo que no es cierto en general.
Funcionaría para distribuciones que sólo tienen un parámetro (se caracterizan por su media) como la distribución de Poisson o la distribución exponencial. Dependiendo de su función, podría obtener información sobre $\mathbb{E}[f(X)]$ de la desigualdad de Jensen o de una expansión de Taylor de primer orden.
Como es sabido, Carr y Madan derivaron una fórmula de replicación estática, véase La respuesta de @Gordon aquí :
\begin{align*} f(x) &= f(a) + f'(a) (x-a) + \int_a^{\infty}(x-u)^+f''(u)\text du + \int_{0}^a(u - x)^+f''(u)\text du. \end{align*} Esto permite calcular expectativas de la forma $\mathbb{E}[f(X)]$ - pero se necesita un continuo de precios de opciones (en todos los strikes positivos). Esta conclusión se hace eco del resultado de Breeden-Litzenberger (1978): Una lista completa de precios de opciones caracteriza completamente la distribución del activo subyacente al vencimiento. Sin embargo, es necesario conocer mucho más que la media de la parte positiva y negativa de $X$ .
