Expectativa de descuento del genérico $\mathbb{C}^2$ función

Question

Consideremos un movimiento browniano geométrico estándar $V_t$ con la deriva $\mu<r$ y la desviación estándar $1$ .

Se sostiene que la expectativa descontada es $$E\left[\int_t^\infty e^{-r(s-t)} V_s ds | V_t \right] = \frac{V_t}{r-\mu}$$ siempre que $r > \mu$ y diverge para $r < \mu$ .

¿Se puede obtener un resultado similar para cualquier $\mathbb{C}^2$ ¿función? Es decir, considere una función que satisfaga $$R f(V) = c + \mu V f'(V) + V^2 f''(V)$$ ¿Cuál es la expectativa descontada de la misma para posibles valores de $R-r$ : $$E\left[\int_t^\infty e^{-r(s-t)} f(V_s) ds | V_t \right] = ?$$

Mi opinión actual es que la solución es:

1. Para $r > R$ la solución es $\frac{f(V_t)}{r-R} + const$ .
2. Para $r < R$ la expectativa diverge.
3. No estoy seguro para $r = R$ .

Para calcular 1, he derivado una EDO para la expectativa y he utilizado $f$ procedente de la solución de su EDO como término no homogéneo. Luego se resuelve con la variación de los coeficientes. Pero no estoy seguro de cómo demostrar el punto 2 y cómo proceder con el 3.

Answer 1

La solución adivinada es correcta. También el caso $r=R$ diverge. Para encontrar la solución se resuelve la EDO para la expectativa de $f(V)$ :

$$d\mathbb{E}(f) = R \mathbb{E}(f) - c$$ que se obtiene de aplicar el lema de ito a $f$ y sustituyendo la EDO por el término de deriva. La solución puede ser sustituida en la expectativa (se aplica el DCT porque $f$ está acotado).

El resto es integración.