Consideremos un movimiento browniano geométrico estándar $V_t$ con la deriva $\mu<r$ y la desviación estándar $1$ .
Se sostiene que la expectativa descontada es $$E\left[\int_t^\infty e^{-r(s-t)} V_s ds | V_t \right] = \frac{V_t}{r-\mu}$$ siempre que $r > \mu$ y diverge para $r < \mu$ .
¿Se puede obtener un resultado similar para cualquier $\mathbb{C}^2$ ¿función? Es decir, considere una función que satisfaga $$R f(V) = c + \mu V f'(V) + V^2 f''(V)$$ ¿Cuál es la expectativa descontada de la misma para posibles valores de $R-r$ : $$E\left[\int_t^\infty e^{-r(s-t)} f(V_s) ds | V_t \right] = ?$$
Mi opinión actual es que la solución es:
- Para $r > R$ la solución es $\frac{f(V_t)}{r-R} + const$ .
- Para $r < R$ la expectativa diverge.
- No estoy seguro para $r = R$ .
Para calcular 1, he derivado una EDO para la expectativa y he utilizado $f$ procedente de la solución de su EDO como término no homogéneo. Luego se resuelve con la variación de los coeficientes. Pero no estoy seguro de cómo demostrar el punto 2 y cómo proceder con el 3.
