Matemáticas detrás de la ventaja del primero en moverse en el modelo de Stackelberg

Question

Supongamos que la demanda del mercado es $P(Q) = a-bQ$ y el coste de fabricación de un artículo es $c_1q_1$ para la empresa $1$ y $c_2q_2$ para la empresa $2$ .

En el modelo de Cournot, maximizamos las funciones de beneficio e introducimos la función de mejor respuesta de una empresa en la función de mejor respuesta de la otra.

¿Por qué no podemos hacer esto en su lugar? Si $\pi_1 = (a-q_1-q_2)q_2 - c_1q_1$ es el beneficio de la empresa $1$ ¿Por qué no conectamos $q_2^* = \text{BR}_2(q_1)$ y resolver para la firma $1$ de la función BR. Es decir, diferenciamos $\pi_i = (a-q_i-\text{BR}_{-i}(q_i))q_i - c_iq_i$ wrt $q_i$ para ambos $i=1,2$ .

He probado esto y no ha funcionado. Así es también como se resuelve el modelo de Stackelberg. Así que mi pregunta es, ¿por qué introducir la función BR antes y después crea una diferencia cuando al final ambas empresas están eligiendo sus mejores funciones de respuesta? No entiendo las matemáticas que explican por qué la introducción de la función BR después crea la "ventaja del primero" mientras que no lo hace si lo hacemos de la forma habitual de Cournot.

Anotación: I $i=1$ , BR $_{-i}(q_1)$ corresponde a BR $_2(q_1)$ . Del mismo modo, para $i=2$ .

Answer 1

En pocas palabras: en Cournot (en cualquier juego simultáneo), cada empresa elige su mejor respuesta dada la respuesta de los demás jugadores, mientras que en Stackelberg una empresa está eligiendo su mejor respuesta dada la respuesta de los demás jugadores (el Seguidor), mientras que la otra está eligiendo la mejor respuesta dada la MEJOR respuesta del otro jugador (el Líder), es decir, está "eligiendo ella misma" el S.P.N.E. .

En Cournot, cada empresa elige una función, su intersección es el N.E. (y no pueden elegir el N.E. ellos mismos), mientras que en Stackelberg una empresa elige una función, la otra empresa elige el punto de esta función que maximiza sus propios beneficios.

Si la pregunta es "¿Por qué no puedo optimizar para las mejores respuestas de los dos jugadores en Cournot?", la respuesta es sencilla: básicamente los estás tratando como monopolistas, estás eligiendo dos puntos de dos funciones diferentes (que resultan ser las mismas sólo porque los jugadores son simétricos), no estás buscando el punto donde se cruzan las dos mejores respuestas.

Por ejemplo, si se tiene un monopolio que maximiza $\Pi(p_1,p_2,p_3)$ No hay diferencia si se resuelve simultáneamente o si se elige secuencialmente primero. $p_1$ (y encuentras $p_1(p_2,p_3)$ entonces $p_2$ (para que encuentres $p_2(p_3)$ y luego $p_3$ : siempre se elige un vector en $R^3$ no es una función en $R^3$ .

Espero haber sido claro...

P.D. Nótese que la Líder "no sabe" la elección del Seguidor (¡La deduce! ¡Como un jugador de ajedrez! Sabe qué jugadas realizará él de forma óptima para una determinada combinación de parámetros, digamos), pero el Seguidor sí conoce la elección del Líder. El problema no es la información asimétrica, es que este truco matemático (elección del punto frente a la elección de una función) "simula" una ventaja estratégica.