Modelo
Considere una problema de decisión de un solo agente con incertidumbre.
Un responsable de la toma de decisiones (DM) tiene que elegir la acción $y\in \mathcal{Y}$ posiblemente sin ser plenamente consciente del estado del mundo. $\mathcal{Y}$ es un conjunto finito. El estado del mundo es una variable aleatoria $V$ con apoyo $\mathcal{V}$ . Cuando el DM elige la acción $y\in \mathcal{Y}$ y el estado del mundo es $v\in \mathcal{V}$ recibe la recompensa $u(y,v)$ . Sea $P_V\in \Delta(\mathcal{V})$ es la idea previa del DM sobre el estado del mundo $V$ .
El DM también procesa algunas señales $T$ con apoyo $\mathcal{T}$ y distribución $P_{T|V}$ con la condición de $V$ para perfeccionar su anterior y conseguir un posterior en $V$ , denotado por $P_{V|T}$ mediante la regla de Bayes.
Una estrategia para el DM es una distribución de acciones condicionada a la señal, que denotamos por $P_{Y|T}$ . Dicha estrategia es óptima si maximiza su beneficio esperado, donde la expectativa se calcula usando la posterior $P_{V|T}$ .
En lo sucesivo, llamaremos $S\equiv (\mathcal{T}, P_{T|V})$ como la estructura de información del DM.
Pregunta
En el peor de los casos, la señal es poco informativa sobre $V$ (estructura de información nula). En este escenario, el DM con estado asignado $v$ elegirá en función de la previa $P_V$ y obtener la utilidad $$ \bar{u}(v)\equiv u\Big(\text{argmax}_{y\in \mathcal{Y}} \int_\mathcal{V} u(y,x) dP_V(x), v\Big). $$ ¿Podemos demostrar que $\bar{u}(v)$ es el más bajo utilidad que el DM puede alcanzar a través de todas las estructuras de información posibles? En otras palabras, tome cualquier estructura de información que sea al menos tan informativa como la estructura de información nula ; supongamos que el DM recibe alguna señal $t$ de dicha estructura de información; ¿se sostiene que
$$ u\Big(\text{argmax}_{y\in \mathcal{Y}} \int_\mathcal{V} u(y,x) dP_{V|T}(x|t), v\Big)\geq \bar{u}(v)\quad ? $$
