Me interesa obtener el tipo de interés a la par de un swap de tipos de interés valorado en el marco de la curva única. Sigamos el correspondiente Artículo de Wikipedia para simplificar la notación.
El valor actual del tramo fijo puede calcularse como $$PV_{fixed} = NR\sum_{i=1}^{n_1}d_i x_i,$$ donde $N$ es el nocional, $R$ es el tipo fijo, $n_1$ es el número de pagos del tramo fijo, $d_1$ es la fracción de recuento de días decimalizada del devengo en el $i$ 'th período y $x_i$ es el factor de descuento correspondiente.
Del mismo modo, el valor actual del tramo flotante viene dado por $$PV_{float} = N\sum_{j=1}^{n_2}r_j d_j x_j,$$ donde $n_2$ es el número de pagos del tramo flotante y $r_j$ son los tipos de previsión (a futuro).
Para encontrar la tasa de paridad fijamos $PV_{fixed} - PV_{float} = 0$ y resolver para $R$ la expresión resultante es $$R = \frac{\sum_{j=1}^{n_2} r_j d_j x_j}{\sum_{i=1}^{n_1} d_i x_i}.$$
Sin embargo, la Wikipedia afirma que, en el marco de la curva única, esta expresión puede simplificarse aún más y convertirse en $$R = \frac{x_0 - x_{n_2}}{\sum_{i=1}^{n_1} d_i x_i}$$
La expresión anterior no es obvia para mí. ¿Cómo podemos concluir que $\sum_{j=1}^{n_2} r_j d_j x_j = x_0 - x_{n_2}$ ?
