¿Cómo encontrar la función de utilidad utilizando la función de utilidad indirecta?

Question

La función de utilidad indirecta se ve así:

$v(p_x, p_y, I) = \frac{I^2}{p_x*p_y}$

donde: $I$ - ingreso, $p_i$ - precio del bien $i x,y$.

Encuentra la función de utilidad $U(x,y)$

Answer 1

Supongamos que la función de utilidad es $u(x, y) = kxy$ donde $k>0$. Considera el siguiente problema

$\displaystyle \max_{x\geq 0, y\geq 0} \ \ kxy \\ \text{s.t.} \ p_Xx + p_Yy \leq I $

donde $p_X >0$, $p_Y > 0$, y $I\geq 0$.

Resolviendo el problema de maximización de utilidad anterior obtenemos la siguiente solución (también conocida como demanda):

\begin{eqnarray*} (x^d,y^d)(p_X, p_Y, I) = \left(\frac{I}{2p_X},\frac{I}{2p_Y} \right) \end{eqnarray*}

y el valor óptimo de la utilidad o la función de utilidad indirecta es:

\begin{eqnarray*} V(p_X, p_Y, I) = u\left(\frac{I}{2p_X},\frac{I}{2p_Y} \right) = \frac{kI^2}{4p_Xp_Y} \end{eqnarray*}

Por lo tanto, cuando $k = 4$ obtenemos la función de utilidad indirecta deseada. Así, $u(x, y) = 4xy$.