Varianza de los rendimientos logarítmicos en la difusión de saltos con tamaños de saltos variables en el tiempo

Question

Estoy tratando de calcular la varianza $\mathrm{var}\left(\log\frac{S\left(t\right)}{S\left(0\right)}\right)$ donde la dinámica de la acción $S$ sigue un proceso de difusión de saltos dado por $$\frac{dS\left(t\right)}{S\left(t-\right)} = \left(\alpha-\lambda \kappa\right)dt+\sigma dZ\left(t\right)+\left(Y\left(t\right)-1\right)dN\left(t\right),$$ donde los saltos son conducidos por un proceso de Poisson independiente $N\left(t\right)$ con intensidad constante $\lambda$ y el tamaño del salto aleatorio $Y$ y los tamaños de los saltos están distribuidos de forma lognormal con parámetros $\mu\left(t\right)$ y $\delta\left(t\right)$ . $\kappa = E\left(Y\left(t\right)-1\right)$ es el salto relativo esperado de $S\left(t\right)$ .

Si $\mu\left(t\right)=\mu$ y $\delta\left(t\right)=\delta$ Este es un modelo regular de difusión de saltos de Merton y, por ejemplo, Navas (2003) muestra que la varianza es $$\begin{align}\mathrm{var}\left(\log\frac{S\left(t\right)}{S\left(0\right)}\right) &=\mathrm{var}\left(\sigma Z\left(t\right)\right) + \mathrm{var}\left(\log Y\left(n\left(t\right)\right)\right) \\ &= t \sigma ^2 + t \lambda \left(\mu^2 + \delta^2 \right),\end{align}$$ porque el proceso de Poisson es independiente de la difusión.

Intento calcular esta cantidad si los tamaños de los saltos y las volatilidades no son constantes y, en cambio, son ambos funciones del tiempo $t$ como se ha comentado anteriormente. He seguido la derivación de Navas: $$\begin{align}\mathrm{var}\left(\log Y\left(n\left(t\right)\right)\right) &= -E \left(\log Y\left(n\left(t\right)\right)\right)^2 + E \left(\left(\log Y\left(n\left(t\right)\right)\right)^2\right) \\ &= -\left(\lambda\int \mu\left(t\right) dt \right)^2+ E \left(\left(\log Y\left(n\left(t\right)\right)\right)^2\right), \end{align}$$ pero estoy atascado en la última expectativa. ¿Alguien podría ayudar, por favor?

EDITAR (después de haber bautizado esto): las funciones $\mu\left(t\right)$ y $\sigma\left(t\right)$ son, en mi ejemplo, funciones a trozos del estilo de $$\mu\left(t\right) = \begin{cases} \mu_1, & 0 < t \leq 1 \\ \mu_2, & 1 < t \leq 2 \\ \vdots & \vdots \\ \mu_T, & T-1 < t \leq T. \end{cases}$$

Referencia:

Navas, Javier F., Cálculo de la volatilidad en un modelo de difusión de saltos. Journal of Derivatives, Vol. 11, No. 2, 2003, Disponible en SSRN: https://ssrn.com/abstract=1031196

Answer 1

Nota : Los parámetros dependientes del tiempo pueden introducirse con bastante facilidad en los modelos de difusión de saltos afines. Incluso si las integrales (temporales) correspondientes no pueden resolverse de forma cerrada, la valoración de opciones y la estimación de momentos siempre pueden realizarse, hasta la solución de dos EDO.

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En mi respuesta, sigo un ansatz que implica la función generadora de momentos (mgf) del proceso de retorno en su modelo de Merton (generalizado). Para encontrar el mgf, hacemos uso de la maquinaria en Duffie, Pan, Singleton (2000) . Una vez encontrado el mgf, calculamos el primer y segundo momento de la distribución de la rentabilidad para encontrar la varianza de la rentabilidad logarítmica.

Paso 1: Obtención del proceso de devolución de registros

Sin pérdida de generalidad, pongamos $S_0=1$ y encontrar el proceso para $y\equiv \log(S)$ :

$$ dy=d\log(S)=\left(\alpha-\lambda\kappa(t)-\frac{1}{2}\sigma^2\right)dt+\sigma dZ(t)+Y(t)dN(t) $$

En el modelo de Merton (generalizado), los saltos de rentabilidad bruta se distribuyen lognormalmente y los saltos de rentabilidad logarítmica se distribuyen normalmente, $Y(t)\sim \mathrm{N}\left(\mu(t),\delta(t)\right)$ . El parámetro dependiente del tiempo $\kappa(t)$ es, por supuesto, no ser transformado y es igual a $\kappa(t)=e^{\mu(t)+\frac{1}{2}\delta(t)^2}-1$ .

Paso 2: La función generadora de momentos del proceso de retorno

Duffie, Pan, Singleton (2000) establecen un camino directo para el cálculo de las expectativas condicionales de los modelos de difusión de saltos afines (con parámetros variables en el tiempo). Utilizaremos estos métodos y encontraremos la función generadora de momentos resolviendo algunas ecuaciones diferenciales. En aras de la brevedad, DPS2000 ofrece un marco para resolver expectativas de la forma (simplificada)

$$ \mathrm{E}\left(e^{uy_T}|\mathcal{F}_t\right)=e^{a(t)+b(t)y_t} $$ Si miramos más de cerca, vemos que se trata de la función generadora de momentos de $y_T$ . Esta expectativa se resuelve resolviendo inteligentemente las EDO para los parámetros $a(t),b(t)$ , sujeta a la condición de contorno $a(T)=0, b(T)=u$

La solución para $b$ es, simplemente, $b(t)=u$ . La solución para $a$ se encuentra resolviendo la siguiente EDO:

$$ \frac{\mathrm{d}a}{\mathrm{d} t}=-u\left(\alpha-\lambda\kappa(t)-\frac{1}{2}\sigma^2\right)-\frac{1}{2}u^2\sigma^2-\lambda\left(e^{u\mu(t)+\frac{1}{2}u^2\delta(t)^2}-1\right) $$

Dejar $\tau = T-t$ la solución es

$$ a=u\tau\left(\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2\right)+\frac{1}{2}u^2\sigma^2\tau-\lambda u\sum_i\Delta_i\kappa_i+\lambda\sum_i\Delta_i\left(e^{u\mu_i+\frac{1}{2}u^2\delta_i^2}-1\right) $$ donde dejamos que $\kappa_i=e^{\mu_i+\frac{1}{2}\delta_i^2}-1$ y $\Delta_i=t_i-{t_{i-1}}$ la duración durante la cual el parámetro es "válido". En su ejemplo, $\Delta_i=\Delta=1$ .

Así, hemos encontrado la función generadora de momentos de $y_T$ $$ \mathrm{M}_{y_T}(u)=e^{a(t,T,u)+uy_t} $$

Los momentos de $y_T\equiv\log S_T$

Dada la función generadora de momentos podemos encontrar el $k$ momento de la distribución de la rentabilidad como:

$$ \mathrm{E}\left(y_T^k\right)=\left.\frac{\partial^k \mathrm{M}_{y_T}\left(u\right)}{\partial u^k}\right|_{u=0} $$

La primera derivada de $M$ evaluado en $u=0$ es el primer momento:

$$ \mathrm{E}(y_T)=\left(\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\tau-\lambda\sum_i\Delta_i\kappa_i+\lambda\sum_i\Delta_i\mu_i $$

La segunda derivada de $M$ evaluado en $u=0$ es el segundo momento:

$$ \mathrm{E}(y_T^2)=\left[\left(\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\tau-\lambda\sum_i\Delta_i\kappa_i+\lambda\sum_i\Delta_i\mu_i\right]^2+\sigma^2\tau+\lambda\sum_i\Delta_i\left(\mu_i^2+\delta_i^2\right) $$

La varianza se encuentra como

$$ \mathrm{Var}(y_T^2)=\mathrm{E}(y_T^2)-\mathrm{E}(y_T)^2=\sigma^2\tau+\lambda\sum_i\Delta_i\left(\mu_i^2+\delta_i^2\right) $$

Comparando esto con el resultado del modelo estándar de Merton, encontramos que la varianza aportada por el componente de salto es la suma ponderada de los componentes a trozos.