Esto se conoce como el lema de Hotelling. Para ello, suponemos que ,, son diferenciables wrt ,,. ¿Cuál es la garantía de que tal es el caso con estas variables?
Si sólo tiene funciones genéricas como $\pi(p,v,w),k(p,v,w),l(p,v,w)$ y no sabes nada de ellos, no puedes demostrar de ninguna manera que son diferenciables con respecto a $p, v$ y $w$ pero tienes que suponga que que estos derivados existen.
El caso es diferente si tiene funciones específicas. Aquí puedes recurrir a la definición de derivadas parciales o a teoremas sobre las derivadas.
¿Podemos demostrar la diferenciabilidad utilizando posiblemente los primeros principios o de alguna otra manera?
El enlace a la Wikipedia que has citado da las definiciones de diferenciabilidad de una función , tanto para la función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ y funciones de varias variables reales (a $\mathbb{R^n}$ ).
Aquí tenemos que hacer una distinción fundamental, entre funciones de una variable real y funciones de varias variables reales.
Para un función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ La diferenciabilidad se refiere a la existencia de la primera derivada, cuya definición viene dada por la Wikipedia, que es la definición habitual como límite de la razón incremental, y una función es diferenciable si este límite existe (finito).
Así que, para comprobar si una función es diferenciable, puedes utilizar, como sabes por el análisis matemático básico, la definición, calculando ese límite para tu función concreta, o demostrando que no existe o que no es finita, o recurriendo a teoremas sobre que alguna función concreta es diferenciable, o a teoremas como 'la suma de dos funciones diferenciables es diferenciable', o que la composición de dos funciones diferenciables es diferenciable, etc.
Muy diferente es el caso de funciones de varias variables. En el artículo de Wikipedia tenemos la definición de diferenciabilidad de una función de varias variables, como la existencia de la diferencial de la función (también llamada diferencial total o derivado total ). La diferencial de una función es la forma lineal (también llamado forma diferencial ) definida por Wikipedia a través de un límite particular (es demasiado largo para informar aquí).
Pero la diferenciabilidad en este sentido no es el mismo concepto que la existencia de las derivadas parciales, ya que sus derivadas de las funciones $\pi(p,v,w),k(p,v,w),l(p,v,w)$ . Usted, aquí, en el lema de Hotelling, está considerando no la diferenciabilidad en el sentido de la existencia de la diferencial, sino sólo de las derivadas parciales.
En el caso de varias funciones existe esta distinción, que puede decirse crucial. La existencia de la derivada parcial y la existencia de la diferencial son conceptos distintos, aunque estén correlacionados. Por ejemplo, la diferenciabilidad implica la existencia de la derivada en todo (no sólo las derivadas parciales), pero la viceversa no es válida.
La existencia de las derivadas parciales no es una noción equivalente a la diferenciabilidad de una función en una sola variable, ya que, por ejemplo, su existencia en un punto no garantiza la continuidad de la función en ese punto.
En cambio, esto está garantizado por la existencia de la diferencial, de modo que la generalización real a varias variables del concepto de diferenciabilidad en una variable es la diferencial.
Se puede ver esto desde un punto de vista geométrico : mientras que la existencia de la derivada en punto de una función de una variable garantiza la existencia de la línea tangente en ese punto, la existencia del diferencial en un punto garantiza la existencia del plano tangente en ese punto.
Conclusiones prácticas : La diferencial es, por supuesto, un concepto muy importante desde el punto de vista teórico, pero si tienes que comprobar la existencia de derivadas parciales de una función de varias variables, puedes olvidarte de la definición de diferencial (diferenciabilidad en el sentido descrito por Wikipedia) y fijarte sólo en las derivadas parciales.
Como las derivadas parciales son en realidad, por definición, derivadas de una función de un variable, puedes aplicar a las derivadas parciales los mismos métodos que para las funciones de una variable real.
Espero que esta breve síntesis de un tema complejo pueda serte útil para contextualizar tu problema y encontrar tu camino en este tema.
