Covarianza entre dos carteras fronterizas

Question

A partir de las definiciones de A, B, C y D en " Una derivación analítica de la frontera eficiente de la cartera " de Robert Merton (1972), ¿cómo puedo demostrar lo siguiente en una derivación línea por línea?

$cov({x}_{p},{x}_{q}) = {x}_{p} \Omega {x}_{q} = \frac{C}{D}\left [E({R}_{p}) - \frac{A}{C} \right ]\left [E({R}_{q}) - \frac{A}{C} \right ] + \frac{1}{C}$

donde el término de la izquierda es la covarianza entre dos carteras fronterizas dadas.

Answer 1

Dejemos que $\Sigma$ denotan la matriz de covarianza de nuestro universo de activos, $\mu$ es el vector de rendimientos esperados. Además, $\mathbb{1}$ es un vector de unos. Identifiquemos el vector de ponderaciones de activos de la cartera de mínima varianza con $w_0$ y la de la cartera de tangencia con $w_m$ . Identifiquemos aún más

$$ \begin{align} a&\equiv \mathbb{1}^T\Sigma^{-1}\mathbb{1}\\ b&\equiv \mathbb{1}^T\Sigma^{-1}\mathbb{\mu}\\ c&\equiv \mathbb{\mu}^T\Sigma^{-1}\mathbb{\mu}\\ d&=ac-b^2 \end{align} $$

Canónicamente, las ponderaciones óptimas de la cartera de varianza mínima son

$$ w_0=\frac{\Sigma^{-1}\mathbb{1}}{\mathbb{1}^T\Sigma^{-1}\mathbb{1}}=\frac{\Sigma^{-1}\mathbb{1}}{a} $$

Su rendimiento esperado es $\mathrm{E}(R_0)=w_0^T\mu=b/a$ su varianza es $\mathrm{Var}(R_0)\equiv \sigma_0^2=w_0^T\Sigma w_0=1/a$ .

Los pesos de la cartera de tangencia son

$$ w_m=\frac{\Sigma^{-1}\mathbb{\mu}}{\mathbb{1}^T\Sigma^{-1}\mathbb{\mu}}=\frac{\Sigma^{-1}\mathbb{\mu}}{b} $$

Su rendimiento esperado es $\mathrm{E}(R_m)=w_m^T\mu=c/b$ su varianza es $\mathrm{Var}(R_m)\equiv \sigma_m^2=w_m^T\Sigma w_m=c/b^2$ . La covarianza entre ambos es $\sigma_{m,0}=1/a=\sigma_0^2$

Para cualquier cartera en la frontera eficiente, $R_i$ Su rentabilidad esperada es una combinación de estas dos carteras (o de otras dos carteras cualesquiera):

$$ \begin{align} \mathrm{E}(R_i)&=\alpha_i\mathrm{E}(R_m)+(1-\alpha_i)\mathrm{E}(R_0)\\ \Rightarrow\qquad \alpha_i&=\frac{\mathrm{E}(R_i)-\mu_0}{\mu_m-\mu_0}\\ &=\frac{\mathrm{E}(R_i)-b/a}{c/b-b/a}\\ &=\frac{ab}{d} \left(\mathrm{E}(R_i)-b/a\right) \end{align} $$

Ahora podemos calcular la covarianza como

$$ \begin{align} \mathrm{Cov}(R_i,R_j)&=\left[\alpha_i w_m+\left(1-\alpha_i\right)w_0\right]\Sigma\left[\alpha_j w_m+\left(1-\alpha_j\right)w_0\right]\\ &=\alpha_i\alpha_j w_m^T\Sigma w_m\\ &+\alpha_i(1-\alpha_j)w_m^T\Sigma w_0\\ &+(1-\alpha_i)\alpha_j w_0^T\Sigma w_m\\ &+(1-\alpha_i)(1-\alpha_j)w_0^T\Sigma w_0\ \end{align} $$

A partir de aquí, podemos introducir los valores de $\alpha_i,\alpha_j$ sustituyendo las (co)varianzas y llegando a

$$ \begin{align} \mathrm{Cov}(R_i,R_j)&=\sigma_0^2+\alpha_i\alpha_j (\sigma_m^2-\sigma_0^2)\\ &=\frac{1}{a}+\frac{a^2b^2}{d^2}\left(\frac{c}{b^2}-\frac{1}{a}\right)\left(\mathrm{E}(R_i)-b/a\right)\left(\mathrm{E}(R_j)-b/a\right)\\ &=\frac{1}{a}+\frac{a}{d}\left(\mathrm{E}(R_i)-\frac{b}{a}\right)\left(\mathrm{E}(R_j)-\frac{b}{a}\right) \end{align} $$