Economía de producción de equilibrio general

Question

Me encontré con el siguiente modelo económico.

Consideremos el siguiente modelo de equilibrio general con solo dos hogares, dos bienes de consumo ($x$ y $y$) y dos insumos (capital $k$ y trabajo $l$). Cada hogar tiene una dotación de capital y trabajo que puede elegir retener o vender en el mercado. Estas dotaciones se denotan por $k_1, l_1$ y $k_2, l_2$ respectivamente. Los hogares obtienen utilidad de las cantidades de bienes de consumo que compran y de la cantidad de trabajo que no venden en el mercado (es decir, el ocio $= \overline{l_i} - l_i$). Los hogares tienen funciones de utilidad Cobb-Douglas: $$U_1 = x_1^{0.5}y_1^{0.3}(\overline{l_1} - l_1)^{0.2} \ \ \ \text{ y } \ \ \ U_2 = x_2^{0.4}y_2^{0.4}(\overline{l_2} - l_2)^{0.2}.$$ Cada hogar provee toda su dotación de capital al mercado. Los hogares retienen algo de trabajo porque el ocio proporciona utilidad directamente. La producción de bienes $x$ y $y$ se caracteriza por tecnologías Cobb-Douglas: $$x = k_x^{0.2}l_x^{0.8} \ \ \ \text{ y } \ \ \ y = k_y^{0.8}l_y^{0.2}.$$ Las dotaciones iniciales son $\overline{k_1} = 40, \overline{k_2} = 10, \overline{l_1} = \overline{l_2} = 24$.

Supongamos además que $p_x, p_y$ son los precios de los bienes $x$ y $y$, $w$ es la tasa salarial (costo del trabajo) y $r$ es el costo del capital.

1. ¿El trabajo y el capital para la producción provienen solo de estos dos hogares o hay otros agentes de los que no estamos al tanto?

2. ¿Cómo calcular los precios de equilibrio y las asignaciones?

Aquí está mi intento de determinar el equilibrio. El ingreso y la restricción presupuestaria del hogar $i$ serán $I_i = wl_i+r(\overline{k_i}-k_i)$ y $p_x x_i + p_y y_i \leq wl_i + r (\overline{k_i} - k_i)$ respectivamente. Dado que el capital no afecta la utilidad, $\overline{k_i} = k_i$ (es decir, cada onza de capital se proporcionará al mercado) y los problemas de maximización de utilidad serán: $$\max [U_i(x_i, y_i, l_i)] \text{ sujeto a } p_x x_i + p_y y_i = wl_i$$

Ahora, ¿qué hacer con las funciones de producción?

Nota para posibles contestantes: No es necesario hacer los cálculos tediosos. Simplemente ayúdenme a construir el problema de maximización.

Answer 1

1. Solo los hogares.

2. Construcción de los problemas de maximización para el equilibrio:

Condiciones de viabilidad:
La cantidad total de trabajo utilizado por las industrias $x$ y $y$ no es mayor que la cantidad total de trabajo suministrada por los dos hogares.
Lo mismo ocurre con el capital.
La cantidad total de bien $x$ consumida (por los hogares) no es mayor que la cantidad total suministrada por la industria.
Lo mismo ocurre con el bien $y$.

Condiciones de optimalidad:
Dados los precios (incluidos salarios y tasas de interés), las decisiones de los hogares (sujetas a restricciones presupuestarias) maximizaron la utilidad.
Dadas las decisiones de las empresas sobre los precios (sujetas a la viabilidad tecnológica como se indica en la función de producción) maximizaron el beneficio.