¿Siguiendo estas condiciones marginales puede la función de utilidad neta converger a un máximo? [Editado]

Question

Tengo lo siguiente utilidad neta que se compone de una función de utilidad positiva (con un punto de felicidad) y dos funciones de utilidad negativa (es decir, desutilidad);

$$Y(a_1,a_2)=y(a_1)+v(a_1,a_2)+w(a_2).$$

Las funciones $y(a_1)$ , $v(a_1, a_2)$ puede poseer una contrapartida. Por ejemplo, consumir en el punto de felicidad en $y$ y minimizar la desutilidad en $w$ puede significar sufrir una desutilidad significativamente alta en $v$ .

Las funciones:

$$y(a_1): \mathbb {R_{\ge0}}\to \mathbb{R}$$

$$v(a_1, a_2): \mathbb {R_{\ge0}^2} \to \mathbb {R_{\le0}}$$

$$w (a_2): \mathbb {R_{\ge0}} \to \mathbb {R_{\le0}}$$

Me gustaría saber si siguiendo las derivadas (ver abajo) de las funciones $y(a_1)$ , $v(a_1, a_2)$ y $w(a_2)$ permiten la función $Y$ para converger a un máximo. En otras palabras, un agente económico racional que toma la mejor decisión en cada momento (estudiando las condiciones marginales) acabará llegando a un máximo de $Y$ .

Los derivados: $$ y'(a_1)= \begin{cases} >0&\text{if}\, a_1\in[0,A)\\ 0&\text{if}\, a_1=A\\ <0&\text{if}\ a_1 \in (A,\infty) \end{cases} $$

$$y''(a_1)<0$$

$$ \frac {\partial v(a_1,a_2)}{a_i}= \begin{cases} \geq0&\text{if}\, a_i <a_j\\\ 0&\text{if}\, a_i=a_j\\ \leq0&\text{if}\ a_i>a_j, \text{where} \, i\neq j \end{cases} $$

$$ w'(a_2)= \begin{cases} \geq0&\text{if}\, a_2<B\\ 0&\text{if}\, a_2=B\\ \leq 0&\text{if}\ a_2 >B \end{cases} $$

Me gustaría entonces decir : $$a_1^* \in \arg \max_{a_1} Y(a_1,a_2)=y(a_1)+v(a_1,a_2)+w(a_2)$$ $$a_2^* \in \arg \max_{a_2} Y(a_1,a_2)=y(a_1)+v(a_1,a_2)+w(a_2),$$

donde $a_1^*$ y $a_2^*$ se puede encontrar siguiendo las condiciones marginales (es decir, las derivadas) anteriores.

Un ejemplo clave:

Supongamos que $a_1 = A$ y $a_2 = B$ tal que $A>>B$ . En este caso, la función $v (A,B)$ puede ser significativamente negativo, aunque $y(a_1)$ y $w(a_2)$ se maximizan. En ese caso, puede ser ventajoso llevar $a_1$ más cerca de $a_2$ para aumentar (es decir, acercarse a $0$ ) la desutilidad del valor $v(A,B)$ . El incentivo marginal de dicha convergencia viene dado por la comparación de las derivadas de las tres funciones.

Answer 1

Espero haber entendido bien su pregunta.

Creo que, en base a las condiciones que has escrito, no puedes estar seguro de que un máximo de $Y(a_1,a_2)$ existe.

¿Cómo podemos establecer que existe un máximo de una función?

El teorema más conocido es el Teorema de Weierstrass, que asegura que una función continua sobre un conjunto compacto $X$ a $\mathbb{R}$ tiene un máximo global y un mínimo en $X$ . En su caso, $Y(a_1,a_2)$ se define en $\mathbb{R^2_{\geq 0}}$ que no es compacto, porque es ilimitado.

Por lo tanto, el Teorema de Weierstrass no se aplica.

Como la función $Y(a_1,a_2)$ es continuamente diferenciable, podemos recurrir a condiciones sobre las derivadas de primer orden, y a condiciones de segundo orden sobre las derivadas en el caso de que la función sea doblemente diferenciable.

Para que un punto sea de un interior punto de máximo (relativo) una condición necesaria es que las derivadas parciales sean 0 en ese punto. Pero para establecer si, en ese punto, tenemos un máximo o no, tenemos que mirar al hessiano, es decir a las derivadas de segundo orden.

Pero sólo tienes condiciones sobre las derivadas de primer orden, y ninguna sobre las de segundo orden, ni si existen o no. Por lo tanto, no se puede decir nada.

Además de puntos interiores de máximo, podríamos tener puntos de máximo (global) en la frontera del dominio de la función $Y$ , $\mathbb{R^2_{\geq0}}$ es decir, los puntos para los que $a_1=0$ o $a_2=0$ .

Pero, de nuevo, no podemos decir nada sobre la existencia de esos puntos en la frontera.

Por supuesto, puede haber otras formas de demostrar la existencia de un máximo. Lo que quiero decir es que probar que un máximo siempre existe bajo las condiciones dadas no es obvio, y probar su existencia, en el caso de que exista, no es trivial.