Demostrar que el rendimiento de la diversificación es siempre no negativo

Question

El "rendimiento de la diversificación" de una cartera es la diferencia entre el rendimiento medio geométrico (compuesto) de una cartera reequilibrada y la suma ponderada de los rendimientos medios geométricos de los activos. Entiendo que este rendimiento de diversificación es siempre no negativo en una cartera con pesos positivos de los activos (sólo posiciones largas)

No he encontrado una prueba rigurosa de que el rendimiento de la diversificación nunca es negativo para el caso más general que implica $N$ activos. He encontrado referencias que muestran que la rentabilidad de la diversificación es aproximadamente la diferencia entre la media ponderada de las varianzas de los activos y la varianza de la cartera, que debe ser no negativa. Pero me gustaría ver una prueba que no dependa de ninguna aproximación para un número arbitrario de activos.

Para formalizar el problema, supongamos que tenemos una cartera con N activos que siempre es reequilibrado para mantener constantes las ponderaciones de los activos $w_1, w_2, \ldots, w_N$ . Sea $r_{ij}$ denotan la rentabilidad del activo $i$ en el período de tenencia $j$ donde $i=1,2,\ldots,N$ y $j = 1,2,\ldots, T$ . La rentabilidad de la cartera en el periodo $j$ es $r_{Pj} = w_1r_{1j} + \ldots w_N r_{Nj}$ por lo que la rentabilidad media geométrica de la cartera a lo largo del $T$ periodos es

$$g_P = [(1+r_{P1})(1+r_{P2})\cdots (1+r_{PT})]^{1/T} -1$$

El rendimiento medio geométrico del activo $i$ es $$g_i = [(1+r_{i1})(1+r_{i2})\cdots (1+r_{iT})]^{1/T} -1$$

¿Se puede demostrar con rigor que $g_P \geq w_1g_1 + w_2 g_2 + \ldots + w_N g_N$ ?

Answer 1

Suponiendo que las ponderaciones de la cartera sumen $1$ la rentabilidad media geométrica de la cartera viene dada por

$$(1+g_P)^T= \prod_{j=1}^T\left[1+ \sum_{i=1}^N w_i r_{ij} \right] =\prod_{j=1}^T \sum_{i=1}^N w_i(1+ r_{ij}) $$

Para proceder, podemos aplicar una forma de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. La forma más conocida es

$$\left(\sum_{i=1}^N X_iY_i\right)^2 \leqslant \left(\sum_{i=1}^NX_i^2 \right)\left(\sum_{i=1}^NY_i^2 \right)$$

y esto se puede generalizar para $T$ -Preparación de productos para

$$\tag{1}\left(\sum_{i=1}^N\prod_{j=1}^TX_{ij}\right)^T \leqslant \prod_{j=1}^T\sum_{i=1}^NX_{ij}^T$$

Dado que las ponderaciones son no negativas y suponiendo que $r_{ij} \geqslant -1$ podemos definir $X_{ij} = [w_i(1+ r_{ij})]^{1/T}$ y sustituir en (1) para obtener

$$\tag{2}\prod_{j=1}^T\sum_{i=1}^Nw_i(1+r_{ij}) \geqslant \left(\sum_{i=1}^N\prod_{j=1}^T[w_i(1+r_{ij})]^{1/T}\right)^T = \left(\sum_{i=1}^Nw_i\left[\prod_{j=1}^T(1+r_{ij})\right]^{1/T}\right)^T $$

El rendimiento medio geométrico del activo $i$ satisface $1+g_i = \left[\prod_{j=1}^T(1+r_{ij})\right]^{1/T}$ y sustituyendo en el lado derecho de (2) obtenemos

$$\prod_{j=1}^T\sum_{i=1}^Nw_i(1+r_{ij}) \geqslant \left(\sum_{i=1}^N w_i(1+g_i)\right)^T = \left(1+\sum_{i=1}^N w_ig_i\right)^T $$

Como el LHS es igual a $(1+g_P)^T$ se deduce que

$$g_P \geqslant \sum_{i=1}^N w_ig_i,$$ como se iba a demostrar.

Prueba de la desigualdad generalizada (1).

Podemos derivar la desigualdad de Cauchy-Schwarz generalizada a partir de la desigualdad de medias aritméticas y geométricas (desigualdad AM-GM) que para los no negativos $x_1,x_2,\ldots, x_n$ se escribe como $$\left(\prod_{j=1}^n x_j\right)^{1/n} =\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\leqslant \frac{x_1+x_2+ \ldots + x_n}{n} =\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n x_j$$

Tomando $S_j = \sum_{i=1}^N X_{ij}^T$ tenemos por la desigualdad AM-GM,

$$\left(\prod_{j=1}^T\frac{X_{ij}^T}{S_j}\right)^{1/T}\leqslant \frac{1}{T}\sum_{j=1}^T \frac{X_{ij}^T}{S_j},$$

y se deduce que

$$\frac{\sum_{i=1}^N \prod_{j=1}^T X_{ij}}{\left(\prod_{j=1}^T S_j \right)^{1/T}}= \sum_{i=1}^N\left(\prod_{j=1}^T\frac{X_{ij}^T}{S_j}\right)^{1/T}\leqslant \sum_{i=1}^N\frac{1}{T}\sum_{j=1}^T \frac{X_{ij}^T}{S_j}\\= \frac{1}{T}\sum_{j=1}^T\sum_{i=1}^N\frac{X_{ij}^T}{S_j } = \frac{1}{T}\sum_{j=1}^T\frac{\sum_{i=1}^NX_{ij}^T}{\sum_{i=1}^NX_{ij}^T} =1$$

Multiplicando ambos lados por el denominador del lado izquierdo obtenemos

$$\sum_{i=1}^N \prod_{j=1}^T X_{ij}\leqslant\left(\prod_{j=1}^T S_j \right)^{1/T} = \left(\prod_{j=1}^T \sum_{i=1}^N X_{ij}^T \right)^{1/T}, $$

y, por lo tanto,

$$\left(\sum_{i=1}^N \prod_{j=1}^T X_{ij}\right)^{T}\leqslant\prod_{j=1}^T \sum_{i=1}^N X_{ij}^T $$