Positividad de los modelos GARCH-X:
Cuando se trata de modelos GARCH con regresores exógenos, es más "complicado" asegurar la positividad del modelo, debido a la dinámica del modelo no especificada de su regresor exógeno ( además, los regresores exógenos pueden tener características drásticamente diferentes ). Sin ninguna especificación del modelo sobre el regresor exógeno $X_{t-1}$ es habitual restringir el espacio de parámetros del modelo para garantizar la positividad.
Para simplificar, definamos vagamente el modelo GJR-GARCH(1,1)-X con rendimientos degradados, $r_t$ : \begin{align*} r_t \vert \mathcal{F}_{t-1} &= \varepsilon_t\\ \varepsilon_t &= \sigma_t \cdot z_t\\ \sigma^2_t &= \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2 + \gamma I_{t-1} \varepsilon_{t-1}^2 + \nu X_{t-1}, \end{align*} donde $z_t \overset{iid}{\sim} D(0,1)$ es una distribución estandarizada y
$$I_{t-1} =\begin{cases} 1 & \text{if } \varepsilon_{t-1} < 0 \\ 0 & \text{if } \varepsilon_{t-1} \geq 0 \end{cases}.$$
He detallado algunas de mis observaciones:
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Cuando se trabaja con el GJR-GARCH(1,1) la positividad se satisface cuando imponemos $\omega, \beta,\alpha > 0$ et $\alpha + \gamma > 0$ . Esta última condición es una declaración más amplia que la imposición de $\alpha, \gamma >0$ ya que podemos permitir que uno de los parámetros sea negativo (en este caso, $\gamma$ ). He hecho una respuesta en profundidad detallando el modelo GJR-GARCH(1,1), la positividad, la estacionariedad de la covarianza y las interpretaciones económicas de las estimaciones de los parámetros.
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Cuando se trabaja con el GJR-GARCH(1,1)-X podemos asegurar aún más la positividad restringiendo adicionalmente el regresor exógeno de manera que $\omega + \nu X_{t-1} \geq 0$ . Aquí, permitimos $\nu$ para variar libremente ( desde $\omega > 0$ ) siempre que se cumpla la condición anterior. La motivación principal para la restricción adicional, proviene de la observación de la varianza incondicional ( calculado bajo la hipótesis de estacionariedad de la covarianza ) del modelo GJR-GARCH-X:
\begin{equation} \mathbb{V}ar(r_t) = \frac{\omega + \nu \mathbb{E}\left[X_{t-1}\right]}{1 - \alpha - \beta - \kappa \gamma}. \end{equation} Para garantizar la varianza incondicional no negativa del proceso de retorno, necesitamos específicamente $\omega + \nu \mathbb{E}\left[X_{t-1}\right] \geq 0$ que se satisface al imponer $\omega + \nu X_{t-1} \geq 0$ para todos $t$ .
En conclusión, imponer $\omega, \beta, \alpha > 0$ , $\alpha + \gamma > 0$ et $\omega + \nu X_{t-1}>0$ , garantiza la obtención de estimaciones de volatilidad no negativas.
Cuando $X_{t-1}$ es estrictamente positivo, es común dejar que $\nu \geq 0$ . Esto también se destaca en el artículo de Han, H. (2015) que investiga los resultados asintóticos del modelo GARCH-X cuando $X_{t-1}$ sigue un proceso fraccionado. En general, es común en el mundo académico asumir una forma funcional en el regresor exógeno, ( véase, por ejemplo, (C1 - C4) en este documento p.699 ). Esto también se hace en el modelo GARCH realizado que incorpora datos intradía para obtener mejores previsiones ( He detallado este modelo ici si está interesado ). Espero que esto ayude .
