Pregunta sobre las condiciones de existencia de un equilibrio walrasiano

Question

Tengo una economía de producción con dos consumidores y un productor.

Los consumidores tienen un conjunto de consumo en $R^2_+$

Y es el conjunto de posibilidades de producción y $$Y= \{y | max (2y_1+ y_2, y_1+2y_2)\le 0\}$$ .

Los consumidores tienen una parte igual de la empresa y de las dotaciones $e_1=e_2=(2,1)$

El consumidor 1 tiene la función de utilidad $u_1(x_{11},x_{12})= x_{11}-x_{12}$

El consumidor 2 tiene la función de utilidad $u_1(x_{21},x_{22})= x_{21}-x_{22}$

¿Cumple esta economía las condiciones para la existencia de un equilibrio walrasiano? Si existe, identifíquelo. O si no, ¿por qué?

-

Lo que creo es que

No existe un equilibrio walrasiano porque el conjunto de producción está vacío. Para que haya haya un equilibrio walrasiano, debe haber un conjunto de producción no vacío. Esta economía no cumple las condiciones para la existencia de un equilibrio walrasiano porque el conjunto de producción está vacío. A equilibrio walrasiano requiere que exista un conjunto de producción no vacío del que se pueda elegir una asignación de equilibrio. En esta economía, no hay posibilidades de producción posibilidades de producción, por lo que no puede haber un equilibrio walrasiano. Para que haya un equilibrio Walrasiano equilibrio walrasiano, las siguientes condiciones deben ser satisfechas:

1. Debe haber un conjunto de producción no vacío.

2. Debe existir un conjunto de precios tal que el el mercado se despeje.

3. Debe haber una asignación de recursos que sea eficiente. En este escenario, el conjunto de producción no está vacía, el mercado se despeja a los precios de equilibrio y la asignación de recursos es eficiente. eficiente. Por lo tanto, existe un equilibrio Walrasiano. En un equilibrio walrasiano, el mercado se despeja a los precios de equilibrio y la asignación de recursos es eficiente.

¿Qué te parece mi respuesta y la pregunta? Muchas gracias

Answer 1

Cuando nos enfrentamos a situaciones como ésta, siempre es bueno recordar el enunciado clave del Teorema de Sonnenschein Matel Debreu, que es:

Cualquier función $z(p)$ que satisface la homogeneidad, la continuidad y la ley de Walras puede ser una función de exceso de demanda para una economía .

Observamos que las preferencias de cada uno de los consumidores $i\in\{1,2\}$ generan la siguiente estructura de demanda:

$$x_{i1}^*=\frac{p_1e_{i1}+p_2e_{i2}}{p_1},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{i2}^*=0$$ ya que al ser indeseable por ambos consumidores (dado que proporciona una utilidad negativa) no se asigna valor a la dotación y a su vez se establece un precio de $p_2=0$ . Esto modifica nuestra estructura de demanda para que sea:

$$x_{i1}^*=e_{i1},\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_{i2}^*=0$$ Sabiendo esto (ignorando el aspecto productivo de nuestra economía en el papel que pueda jugar) observamos que estas demandas son homogéneas y continuas con valores constantes lo que a su vez define nuestra función de exceso de demanda $z(p)\equiv \sum_i (x_{i}-e_{i})$ sea continua y homogénea (nótese que en este caso $x_i$ y $e_i$ son vectores).

Eligiendo algún vector de precios arbitrario podemos ver que para cualquier precio se cumple la ley de walras (es decir $pz(p)\equiv 0$ . Utilizando estos hechos podemos construir un mapeo de punto fijo con $z(p)$ y demostrar la existencia del equilibrio.

NOTA: podríamos haber trabajado en esto definiendo primero un mapeo de punto fijo y hacer la prueba de esa manera, pero es más instructivo ver cómo cada una de las piezas de este problema encaja. La producción en este caso sería irrelevante ya que no hemos definido cómo la decisión de asignación de las empresas está vinculada al problema de los consumidores.

Espero que esto ayude.