Función implícita en los modelos económicos

Question

Estoy estudiando un modelo económico, y me gustaría entender por qué los autores del libro escribieron lo siguiente:

Considera la siguiente ecuación:

$L_u = \phi(q_{L,t}-Q_t)l_{u,t}$ $~~[1]$

entonces, ya que $q_{L,t} = \frac{\eta}{w_{u,t}}$ y $l_{u,t}= {\frac{w_{u,t}}{\alpha \epsilon^2 L_s^{1- \epsilon}}}^{\frac{1}{\alpha \epsilon -1}}$

Basta con introducir estos valores $[1]$

Entonces, por qué el libro dice: obtenemos la tasa salarial de los trabajadores poco cualificados, $w_{u,t}$ como viene dado implícitamente por :

¿Por qué escribir una función implícita en lugar de resolver simplemente para $w_{u,t}$ ?

Por último, ¿por qué la siguiente derivada tiene signo negativo y se ha escrito como un cociente?

Yo esperaba $\displaystyle \frac{\partial G}{\partial Q_t} \displaystyle \frac{\partial w}{\partial Q_t}$ en lugar de $-\displaystyle \frac{\partial G}{\partial Q_t}/ \displaystyle \frac{\partial G}{\partial w_{u,t}}$

Answer 1

¿Por qué escribir una función implícita en lugar de resolver simplemente para $w_{u,t}$ ?

Porque resolverlo explícitamente lleva mucho tiempo y no aportaría ninguna información nueva.

Si alguien escribe $y=x+10$ que es exactamente la misma información que $x=y-10$ . Si tienes una función compleja, puede llevar mucho tiempo resolverla explícitamente para alguna variable. El tiempo es un recurso escaso.

Si trabajas con funciones generales puede que incluso sea imposible resolver explícitamente una de las variables, aunque eso no parece ser un problema en tu caso.

Por último, ¿por qué la siguiente derivada tiene signo negativo y se ha escrito como un cociente?

Porque esa es la regla para las derivadas implícitas a lo largo de la curva de nivel. En general la pendiente de una curva de nivel se puede encontrar realizando eso:

$$F(x,y)=c \implies y’ = - \frac{F’_1(x,y)}{F’_2(x,y)}, F’_2 \neq 0$$