Valor esperado dentro de una función de utilidad

Question

Digamos que el Agente 1 tiene una función de utilidad que depende de la otra persona, es decir $u_1(x_1-x_2)$ , donde $x_i$ es la elección del Agente $i$ . Supongamos que el valor esperado de $x_2$ se denota $E[x_2]$ .

Puede $u_1(x_1-E[x_2])$ definirse como la utilidad esperada del Agente 1 al elegir algún $x_1$ ?

Answer 1

No, $u_1(x_1-E[x_2])$ es agente $1$ 's utilidad del valor esperado , no el utilidad esperada del valor .

Generalmente $u(E(x)) \neq E(u(x))$ . Un ejemplo sencillo:

Dejemos que $x$ tomar valor $-1$ con probabilidad $50\%$ y valor $1$ con probabilidad $50\%$ . Sea $u(x) = x^2$ . Entonces $$E(x) = 50\% \cdot (-1) + 50\% \cdot 1 = 0$$ $$u(E(x)) = 0^2 = 0$$ $$E(u(x)) = 50\% \cdot (-1)^2 + 50\% \cdot 1 = 1$$

Hay casos especiales en los que $u(E(x)) = E(u(x))$ se mantiene, por ejemplo, esto es siempre cierto cuando $u$ es una función afín. La igualdad nunca se cumple cuando $u$ es estrictamente convexo, véase La desigualdad de Jensen .