MWG 8.B.7 - Cualquier estrategia estrictamente dominante debe ser una estrategia pura

Question

Esta pregunta del MWG 8.B.7

Cualquier estrategia estrictamente dominante debe ser una estrategia pura.

¿Cómo puedo mostrar esto?

Mi explicación es la siguiente:

Supongamos que tenemos una estrategia estrictamente dominante, $\sigma_i$ . Supongamos además que $\sigma_i$ no es una estrategia pura degenerada. Entonces $\sigma_i$ no puede dominar estrictamente ninguna estrategia pura para la que $\sigma_i$ especifica que se juega con una probabilidad positiva. Por lo tanto, $\sigma_i$ no puede ser estrictamente dominante. Por lo tanto, $\sigma_i$ debe ser una estrategia pura degenerada si quiere ser estrictamente dominante.

Pero supongo que esto es sólo una explicación de lo que pensaba.

¿Cómo puedo demostrar matemáticamente estas frases?

Answer 1

Arreglar cualquier $\sigma_{-i}$ . Supongamos que $\sigma_i$ es estrictamente dominante pero no es una estrategia pura. Sea $X$ sea el soporte de $\sigma_i$ . Desde $\sigma_i$ domina estrictamente todas las estrategias puras $s_i\in X$ tenemos $$\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})>\pi_i(s_i,\sigma_{-i})$$ para todos $s_i\in X$ . Esto implica $$\sigma_i(s_i)\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})>\sigma_i(s_i)\pi_i(s_i,\sigma_{-i})$$ para todos $s_i\in X$ . El resumen da $$\sum_{s_i\in X}\sigma_i(s_i)\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})>\sum_{s_i\in X}\sigma_i(s_i)\pi_i(s_i,\sigma_{-i})=\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i}),$$ que implica $$\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})\sum_{s_i\in X}\sigma_i(s_i)>\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})$$ y por lo tanto $$\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i})>\pi_i(\sigma_i,\sigma_{-i}),$$ que es una contradicción.