Encontrar las asignaciones eficientes de Pareto

Question

Consideremos una economía de 2 personas y 2 bienes en la que existe un bien privado $x$ y un bien público $y$ . El Agente 1 tiene una dotación de 10 unidades del bien privado y el Agente 2 tiene una dotación de 20 unidades del bien privado. Inicialmente, no hay ningún bien público en la economía. Para producir $y$ unidades del bien público, $y^2$ unidades del bien privado. Es decir, la función de costes es $c(y)=y^2$ .

Las funciones de utilidad de los agentes son las siguientes;

$$u_1(x_1,y)=x_1+y$$ $$u_2(x_2,y)=x_2y$$

En primer lugar, necesito encontrar las asignaciones eficientes de Pareto donde se producen 4 unidades de bien público.

En segundo lugar, necesito encontrar el consumo privado de ambos agentes así como el nivel de bien público en el equilibrio.

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Para encontrar las asignaciones eficientes de Pareto, maximizo la suma de los pagos de ambos agentes

$$max\{ u_1(x_1,y)+ u_2(x_2,y)-c(y)\}$$

Condición de primer orden con respecto a $y$ es $6+x_2-2y=0$

Así que, encontré $x_2=2\times 4-6=2$

Pero mi intento no es cierto. No puedo hacer la solución correcta. Apreciaré si me ayudan a resolver las partes de esta pregunta.

Answer 1

Dejemos que $y_i$ sea la contribución del agente i a la producción de $y$

$y=\sqrt{\sum y_i}$

Así que cuando $y=4$ $\Rightarrow \sum y_i=16 \Rightarrow \sum x_i = 14$

El conjunto de asignaciones eficientes de pareto es $\{(x_1,x_2):x_1+x_2=14,x_1 \in [0,10], x_2 \in [0,20]\}$

El consumo privado de los bienes será el mismo que las dotaciones y la provisión del bien público será $0$ en el equilibrio.

Razón:

$max_{{x_1,y_1}: x_1 + y_1 = 10} x_1 + \sqrt{\sum y_i}$

$\Rightarrow \frac{39}{4} + y_{2} = x_{1}$

$max_{(x_2, y_2):x_2+y_2=20} x_2 \sqrt{\sum y_i}$

$\Rightarrow x_2= \frac{1}{3}(2y_1 + 40)$

Sea el precio del bien privado $1$ . Dada la función de utilidad del agente $1$ esto implica $y_1=y \Rightarrow y_2=y^2 - y$ Es evidente que el sistema de ecuaciones anterior no tiene solución real. Por lo tanto, el equilibrio no existe.

Modifier : El equilibrio será cuando $x_1=10, y_1=0, x_2=\frac{40}{3},y_2=\frac{20}{3}$ Créditos : Agrim Rana