¿Es la duración de un bono una función convexa?

Question

Entiendo que en general, el valor liquidativo de un bono es una función convexa.

Sin embargo, no estoy muy seguro de si lo mismo se puede decir de su duración.

¿Hay referencias sobre esto? Gracias

Answer 1

La función genérica de precios de bonos es

$$PV = \sum_i^n c_iD(t_i)+D(t_n)$$

Convexidad de PV01

Identifiquemos su duración con la negativa de su primera derivada, y establezcamos $D(t_i)=e^{-rt_i}$

$$D\equiv-\frac{\partial PV}{\partial r}=\sum_i^nt_ic_ie^{-rt_i}+t_ne^{-rt_n}$$

Una función es (localmente) convexa si su segunda derivada es (localmente) positiva. La segunda derivada de la duración es igual a la tercera derivada de la función de precios de bonos (c.r.)

$$\frac{\partial ^2D}{\partial r^2}\equiv-\frac{\partial ^3 PV}{\partial r^3}=\sum_i^nt_i^3c_ie^{-rt_i}+t_n^3e^{-rt_n}$$

Dado que $D(r)\geq 0 \forall r$, y $t_i\geq 0$ también, esta función es estrictamente positiva en todo el dominio. Este resultado se sostiene independientemente de la definición de tasa utilizada, y es estrictamente válido para cualquier $c\geq0$.

Convexidad de la Duración

Identifiquemos ahora la duración como

$$D\equiv -\frac{\frac{\partial PV}{\partial r}}{PV}$$

es decir, la (negativa de) la primera derivada sobre el valor presente. Entonces

$$\frac{\partial ^2D}{\partial r^2}=\frac{\frac{\partial^3PV}{\partial r^3}}{PV}-3\frac{\frac{\partial PV}{\partial r}\frac{\partial^2 PV}{\partial r^2}}{PV^2}+2\frac{\left(\frac{\partial PV}{\partial r}\right)^3}{PV^3}$$

Sabemos que

$$\begin{align} O(PV)&=1,\\ O(D)=O\left(\frac{\partial PV}{\partial r}\right)&=T,\\ O\left(\frac{\partial^2 PV}{\partial r^2}\right)&=T^2,\\ O\left(\frac{\partial^3 PV}{\partial r^3}\right)&=T^3 \end{align}$$ Pero con un poco de ensayo y error, encontramos que para cupones positivos $c$, la k-ésima derivada incrementa "más lento" que $T^k$. En este momento, no puedo encontrar una prueba matemática, pero el ensayo y error muestra que:

$$\frac{\partial ^2 D}{\partial r^2}\leq 0$$ válido para todos los $c\geq 0$, todas las tasas $r$ y cualquier $n\geq 1$.

Por lo tanto, bajo esta definición, la duración es cóncava.

Answer 2

Recuerde que la duración se define como el tiempo promedio para recibir el flujo de efectivo, con los pesos siendo los valores presentes de los flujos de efectivo. Por lo tanto, cuando las tasas de interés suben muy alto, los flujos de efectivo a largo plazo tienen pesos muy bajos, y la duración disminuye monótonamente y tiende asintóticamente hacia el tiempo del primer cupón. Cuando las tasas llegan a cero, la duración es mucho mayor. Por lo tanto, pensando en la duración como una función de las tasas, tenemos una función que debe ser positivamente convexa en la región de tasas de interés positivas.

En la región de tasas negativas, creo que es negativamente convexa porque está limitada por encima por el tiempo del último flujo de efectivo.