Por el Modelo Guilbaud & Pham ( Negociación óptima de alta frecuencia con órdenes limitadas y de mercado , 2011), los autores dijeron que la ecuación integro-diferencial (IDE) puede ser fácilmente resuelta por el método numérico.
$$ \begin{gathered} \max \left[-\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial t}+\left(b \eta y-\frac{1}{2} \sigma^{2}(\eta y)^{2}\right) \varphi_{i}-\sum_{j=1}^{m} r_{i j}(t)\left[\varphi_{j}(t, y)-\varphi_{i}(t, y)\right]\right. \\ -\inf _{\left(q^{b}, \ell^{b}\right) \in \mathcal{Q}_{i}^{b} \times[0, \bar{\ell}]} \lambda_{i}^{b}\left(q^{b}\right)\left[\exp \left(-\eta\left(\frac{i \delta}{2}-\delta 1_{q^{b}=B b_{+}}\right) \ell^{b}\right) \varphi_{i}\left(t, y+\ell^{b}\right)-\varphi_{i}(t, y)\right] \\ -\inf _{\left(q^{a}, \ell^{a}\right) \in \mathcal{Q}_{i}^{a} \times[0, \bar{\ell}]} \lambda_{i}^{a}\left(q^{a}\right)\left[\exp \left(-\eta\left(\frac{i \delta}{2}-\delta 1_{q^{a}=B a_{-}}\right) \ell^{a}\right) \varphi_{i}\left(t, y-\ell^{a}\right)-\varphi_{i}(t, y)\right] \\ \left.\varphi_{i}(t, y)-\inf _{e \in[-\bar{e}, \bar{e}]}\left[\exp \left(\eta|e| \frac{i \delta}{2}+\eta \varepsilon\right) \varphi_{i}(t, y+e)\right]\right]=0, \end{gathered} $$
Conozco el método diferencial finito, pero el problema es el término de la suma. No sé sobre el conjunto de soluciones $\varphi = (\varphi_{i})_{\in I}$ por lo tanto, no puedo adivinar lo que el $\varphi_{j}$ es.
¿Cómo puedo resolver la ED? Además, ¿qué es el control óptimo?
