Fijación de precios de las opciones de Black y Scholes

Question

Tengo que resolver el siguiente problema en el modelo de Black y scholes: encontrar el precio a anty $t\in[0,T)$ para una opción cuyo pago al vencimiento es: \begin{equation} 0 \ \ \ \text{if} \ S_T<K_1\\ K_2-S_T \ \ \ \text{if} \ K_1<S_T<K_2\\ K_2-K_1 \ \ \ \text{if} \ K_2< S_T \end{equation}

SOLUCIÓN He reescrito el pago como: \begin{equation} Payoff_T=(K_2-S_T)\textbf{1}_{\{K_1<S_T<K_2\}}+(K_2-K_1)\textbf{1}_{\{S_T>K_2\}} \end{equation} Desde $S$ evoluciona bajo la medida martingala $\mathbb{Q}$ como un movimiento browniano geométrico con dinámica: \begin{equation} S_t=S_se^{(R-\frac{\sigma^2}{2})(t-s)+\sigma Y\sqrt{t-s}} \end{equation} donde $Y\sim N(0,1)$ entonces quiero calcular para qué valores de $Y$ : \begin{equation} K_1<S_T\Rightarrow K_1< S_te^{(R-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)+\sigma Y\sqrt{T-t}}\Rightarrow\dfrac{K_1}{S_t}e^{-(R-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}<e^{\sigma Y\sqrt{T-t}}\\ \Rightarrow y_1=\dfrac{\ln(\frac{K_1}{S_t})-(R-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}<Y \end{equation} de forma parecida a como lo hago yo: \begin{equation} S_T<K_2\Rightarrow Y<\dfrac{\ln(\frac{K_2}{S_t})-(R-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=y_2 \end{equation} Aplicando ahora la fórmula del precio en B $\&$ Mercado S: \begin{equation} price_t=e^{-R(T-t)}E^{\mathbb{Q}}(Payoff_T|\mathcal{F}_t)\\ =e^{-R(T-t)}\bigg(\int_{y_1}^{y_2}(K_2-S_te^{(R-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)+\sigma y\sqrt{T-t}})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}dy+\int_{y_2}^{\infty}(K_2-K_1)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}dy\bigg) \end{equation} Ahora omito el cálculo de esta integral (no es difícil) y tengo la fórmula final donde denoto con $\Phi(x)=P(X\leq x)$ con $X\sim N(0,1)$ : \begin{equation} price_t=e^{-R(T-t)}(K_2-K_1)(1-\Phi(y_2))+K_2e^{-R(T-t)}(\Phi(y_2)-\Phi(y_1))-S_t(\Phi(y_2-\sigma\sqrt{T-t})-\Phi(y_1-\sigma\sqrt{T-t})) \end{equation} En este punto mis preguntas son:

1. ¿está bien este cómputo?
2. Dado que la segunda pregunta del ejercicio es calcular el delta del contrato (derivado con respecto al subyacente S), ¿es posible expresar el resultado en términos de opciones Call/put para las que conozco una expresión explícita del delta?

Answer 1

Empecemos por considerar una estrategia de spread bajista, consistente en poner en largo una put europea con strike $K_2$ y cortocircuito otro europeo puso con la huelga $K_1$ . Entonces el pago de esta cartera al vencimiento $T$ es: \begin{align} &(K_2-S_T)\textbf{1}_{\{S_T\leq K_2\}}-(K_1-S_T)\textbf{1}_{\{S_T\leq K_1\}} \\ &\qquad=(K_2-S_T)\left(\textbf{1}_{\{K_1< S_T\leq K_2\}}+\textbf{1}_{\{S_T\leq K_1\}}\right) -(K_1-S_T)\textbf{1}_{\{S_T\leq K_1\}} \\ &\qquad=(K_2-S_T)\textbf{1}_{\{K_1< S_T\leq K_2\}} +((K_2-S_T)-(K_1-S_T))\textbf{1}_{\{S_T\leq K_1\}} \\ &\qquad=(K_2-S_T)\textbf{1}_{\{K_1< S_T\leq K_2\}} +(K_2-K_1)\textbf{1}_{\{S_T\leq K_1\}} \end{align} Hemos emparejado el primer término de su pago. Para igualar el segundo, en realidad tenemos que restar $(K_2-K_1)\textbf{1}_{\{S_T\leq K_1\}}$ y añadir $(K_2-K_1)\textbf{1}_{\{S_T> K_2\}}$ : \begin{align} &(K_2-S_T)\textbf{1}_{\{K_1< S_T\leq K_2\}} +(K_2-K_1)\textbf{1}_{\{S_T\leq K_1\}} -(K_2-K_1)\textbf{1}_{\{S_T\leq K_1\}} +(K_2-K_1)\textbf{1}_{\{S_T> K_2\}} \\ \qquad&= (K_2-S_T)\textbf{1}_{\{K_1< S_T\leq K_2\}} +(K_2-K_1)\textbf{1}_{\{S_T> K_2\}} \end{align} Sin embargo, el término sustraído corresponde al pago de una opción de venta al contado con strike $K_1$ y el pago en efectivo $K_2-K_1$ mientras que el término añadido es igual a la retribución de una opción de compra "cash-or-nothing" con strike $K_2$ y el mismo pago en efectivo. Todas estas opciones tienen precios y griegas conocidos según el modelo Black-Scholes.

Por lo tanto, se puede fijar el precio de la ganancia en un entorno Black-Scholes sumando los precios Black-Scholes de 1) una opción de venta vainilla europea con strike $K_2$ y 2) una opción de compra europea "cash or nothing" con strike $K_2$ y pago en efectivo $C:=K_2-K_1$ al que se le restan los precios de ambos 3) una opción de venta europea de vainilla con strike $K_1$ y 4) una opción de venta europea al contado con strike $K_1$ y pago en efectivo $C$ .