Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman

Question

Consideremos el modelo de equipo de laboratorio desarrollado por Romer con variedades de entrada.

El valor de poseer el plano de una máquina de una variedad $\nu$ está dada por:

Y:

denota los beneficios del monopolista que produce la máquina $\nu$ en el momento $t$ , $x(\nu, t)$ y $p^x(\nu, t)$ son las opciones de maximización de beneficios para el monopolista y $r(t)$ es el tipo de interés de mercado en el momento $t$ . Finalmente, $\psi$ es el coste marginal de producir una unidad de esa máquina. Este coste marginal es igual a $\psi$ unidades del bien final.

Alternativamente, suponiendo que la función de valor es diferenciable en el tiempo, esta ecuación podría ser escrita en forma de Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman de la siguiente manera:

¿Podría mostrarme cómo derivar la última ecuación?

Answer 1

$$V(v, t)=\int_{t}^{t+\Delta t} \exp \left(-\int_{t}^{s} r\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right) \pi(v, s) d s + \exp \left(-\int_{t}^{t+\Delta t} r\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right) V(v, t+\Delta t)$$

Utiliza la expansión de Taylor, $$V(v, t+\Delta t) = V(v, t)+\frac{\partial V(v, t)}{\partial t} \Delta t + o(\Delta t)$$ .

Reemplázalo en la primera ecuación: $$-\int_{t}^{t+\Delta t} \exp \left(-\int_{t}^{s} r\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right) \pi(v, s) d s = \left( \exp \left(-\int_{t}^{t+\Delta t} r\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right) - 1\right) V(v, t) \\ + \exp \left(-\int_{t}^{t+\Delta t} r\left(s^{\prime}\right) d s^{\prime}\right) \left(\frac{\partial V(v, t)}{\partial t} \Delta t + o(\Delta t)\right)$$ .

Divida esta ecuación por $\Delta t$ y tomar el límite como $\Delta t \to 0$ (también conocido como tomar la derivada), se obtiene la ecuación HJB.