Mi objetivo es encontrar la dinámica de los precios descontados, dada por $\mathbf{y}_{t} = \mathbf{P}_{t}\mathrm{e}^{-\int^{t}_{0} r_{s} ds}$ . Sé que la dinámica debe ser $d\mathbf{y}_{t} = \mathrm{diag}(\mathbf{y}_{t})[(\mu_{t} - r_{t}\mathbf{1})dt + \sigma_{t}d\mathbf{W}_{t}]$ , donde $\mu_{t}$ es un vector, $\mathbf{1}$ es un vector de unos, y $\sigma_{t}$ es una matriz.
Mi enfoque es el siguiente. Definir $f(t,\mathbf{y}_{t},D_{t}) = \mathbf{P}_{t}D_{t}$ , donde $D_{t} = \mathrm{e}^{-\int^{t}_{0}r_{s}ds}$ . La dinámica de $D_{t}$ es: $dD_{t} = -D_{t}r_{t}dt$ . Utilizando el Lemma de Itô, obtenemos $$\begin{align*} d\mathbf{y_{t}} &= 0dt + D_{t}d\mathbf{P}_{t} + \mathbf{P}_{t}dD_{t} + \frac{1}{2} \cdot 0(d\mathbf{P}_{t})^{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 (dD_{t})^{2} + \mathbf{1} (d\mathbf{P}_{t})(dD_{t})\\ &= D_{t}d\mathbf{P}_{t} + \mathbf{P}_{t}dD_{t} \end{align*}.$$
Se da la circunstancia de que la dinámica de $\mathbf{P}_{t}$ es: $d\mathbf{P}_{t} = \mathrm{diag}(\mathbf{P}_{t})[\mu_{t}dt + \sigma_{t}d\mathbf{W}_{t}]$ , de nuevo $\mu_{t}$ es un vector y $\sigma_{t}$ es una matriz. La inserción de la $\mathbf{P}_{t}$ y $D_{t}$ dinámica obtenemos
$$\begin{align*} d\mathbf{y}_{t} &= D_{t}d\mathbf{P}_{t} + \mathbf{P}_{t}dD_{t}\\ &= D_{t}\left[\mathrm{diag}(\mathbf{P}_{t})[\mu_{t}dt + \sigma_{t}d\mathbf{W}_{t}]\right] + \mathbf{P}_{t}\left[-D_{t}r_{t}dt\right]\\ &= D_{t}\mathrm{diag}(\mathbf{P}_{t})\mu_{t}dt - \mathbf{P}_{t}D_{t}r_{t}dt + \mathrm{diag}(\mathbf{P}_{t})D_{t}\sigma_{t}d\mathbf{W}_{t}\\ &= \mathrm{diag}(\mathbf{y}_{t})\mu_{t}dt - \mathbf{y}_{t}r_{t}dt + \mathrm{diag}(\mathbf{y}_{t})\sigma_{t}d\mathbf{W}_{t}. \end{align*}$$ Aquí es donde estoy atascado y probablemente sea alguna regla de álgebra lineal que se me escapa, al derivar las derivadas pertinentes. Para obtener el resultado correcto necesito $\mathbf{y}_{t}r_{t}dt$ para ser $\mathrm{diag}(\mathbf{y}_{t})r_{t}\mathbf{1}dt$ .
Se agradecería cualquier ayuda.
