Una relación de preferencia es continua si existe una función de utilidad que la represente

Question

Supongamos que $X \subset \mathbb{R}^n$ . Una relación de preferencia $\preceq$ es reflexiva, completa, transitiva y continua si y sólo si existe una función de utilidad $u:X \rightarrow \mathbb{R}$ que lo representa.
Cómo demostramos este tipo de prueba, vi la prueba del Teorema de Debreu pero no entiendo cada paso y por qué es cierto intuitivamente.

Answer 1

El núcleo del teorema de la representación de Debreu es su llamado "teorema de la brecha":

Dejemos que $S\subseteq[0,1]$ . A brecha es un intervalo no trivial máximo disjunto de $S$ con un límite superior e inferior en $S$ . El teorema de la brecha de Debreu dice que existe una función estrictamente creciente $f:S\to\mathbb{R}$ de forma que todos los huecos de la imagen $f(S)$ son intervalos abiertos. La intuición de Debreu era que si un intervalo es un intervalo semiabierto, entonces uno puede deslizar los puntos finales juntos para eliminar el intervalo. Su primer intento de demostración se basó en esta idea en [Debreu, Gerard. "Representación de un ordenamiento de preferencias por una función numérica". Procesos de decisión 3 (1954): 159-165.] resultó ser erróneo, como observó el propio Debreu en [Debreu, Gerard. "Propiedades de continuidad de la utilidad paretiana". Revista Económica Internacional 5.3 (1964): 285-293.], donde también proporcionó una prueba correcta muy larga. Ha habido muchas pruebas del teorema de la brecha desde entonces, empezando por una prueba hábil pero no elemental basada en la teoría de la medida en [Bowen, Robert. "A new proof of a theorem in utility theory". Revista Económica Internacional 9.3 (1968): 374-374.]

Ahora bien, ¿por qué es útil el teorema de la brecha? Tomemos cualquier función de utilidad $v:X\to [0,1]$ que representa las preferencias continuas. Sea $u:X\to\mathbb{R}$ sea la composición $f\circ v$ con $f$ el tipo de función cuya existencia está garantizada por el lema de la brecha. Resulta que $u$ es entonces continua. Claramente, también representa las preferencias. En efecto, basta con demostrar que para cada $r\in\mathbb{R}$ las preimágenes $u^{-1}\big ((-\infty, r]\big)$ y $u^{-1}\big([r, \infty)\big)$ están cerradas. Básicamente, se utiliza el teorema de la brecha para demostrar que estos intervalos son de orden cerrado. Como las preferencias son continuas, los conjuntos cerrados por orden son realmente cerrados.

Cabe señalar que este tema es muy técnico; no existe una demostración fácil para el teorema de Debreu en toda su generalidad.