He visto el lema:
"En los juegos de forma extensiva con información completa y perfecta, cualquier estrategia mixta para el jugador i resultará en una utilidad menor o igual para el jugador i en comparación con alguna estrategia pura disponible para el jugador i".
Lo entiendo intuitivamente, que una decisión de estrategia mixta, estaría por debajo de la mejor respuesta que puedo tomar, pero no sé cómo probarlo.
Asumo que en el lema está implícita la condición de "mantener fijas las estrategias de los demás jugadores". También supondré que el espacio de estrategias es finito.
Dado un perfil de las estrategias de los otros jugadores $\sigma_{-i}$ , jugador $i$ La utilidad de jugar una estrategia mixta $\sigma_i$ está dada por: \begin{equation} u_i(\sigma_i,\sigma_{-i})=\sum_{s_i\in S_i}\sigma_i(s_i)u_i(s_i,\sigma_{-i}) \end{equation} donde $\sigma_i(s_i)$ es la probabilidad de jugar la estrategia pura $s_i$ según $\sigma_i$ . Ahora dejemos que $$s_i^*\in\mathop{\arg\max}_{s_i\in S_i}\;u_i(s_i,\sigma_{-i}).$$ Este máximo debe existir porque $S_i$ es finito. Se deduce que, para todo $\sigma_i$ , $$u_i(s_i^*,\sigma_{-i})\ge\sum_{s_i\in S_i}\sigma_i(s_i)u_i(s_i,\sigma_{-i}) \tag*{$ \N - Plaza negra $}$$
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