Expectativa condicional de la integral del movimiento browniano al cuadrado - Enfoque PDE

Question

Quiero calcular lo siguiente utilizando la fórmula de Ito.

$$u(t,\beta_t) = \mathbb{E}(\int_t^T\beta_s^2ds|\beta_t)$$

Conociendo las propiedades del movimiento browniano, es bastante fácil demostrar que lo anterior es equivalente a $\frac{1}{2}(T^2-t^2)$ Sin embargo, quiero aplicar la fórmula de Ito para obtener un resultado similar. Dado que $u$ es una martingala, se deduce de la fórmula de Ito que $u$ satisface la ecuación de calor homogénea:

$$u_t = \frac{1}{2}u_{xx}$$ Aunque me cuesta ver cómo la solución se alinea con lo que encontré usando el enfoque más fácil.

Nota al margen:

Mis condiciones límite: $$u(T,x) = 0$$ $$u(0,0) = \mathbb{E}(\int_0^Tds) = T $$ Aunque podría estar equivocado aquí, ya que la expectativa me confunde

Editar:

Mi enfoque para encontrar $\frac{1}{2}(T^2-t^2)$ a través del conocimiento de B.M.:

(1) Por la propiedad de la torre, utilizando el hecho de que $\beta_t\in F_t$ $$u(t, \beta_t) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(\int_t^T\beta_s^2ds|F_t)|\beta_t)$$

(2)Entonces dado que la integral no está dentro de $F_t$ tenemos $$u(t,\beta_t) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(\int_t^T\beta_s^2ds)|\beta_t)$$

(3)

$$u(t,\beta_t) = \mathbb{E}((\int_t^T\mathbb{E}(\beta_s^2)ds|\beta_t)$$

(4) Por último,

$$u(t,\beta_t) = \mathbb{E}(T-t|\beta_t) = \frac{1}{2}(T^2-t^2)$$ (trivialmente)

Answer 1

Ya no estoy seguro de cuál es exactamente su pregunta, pero la correspondencia entre las EDP y las probabilidades / EDS está dada por Feynman-Kac. Ver por ejemplo aquí .

Así, utilizando Feynman-Kac, la EDP satisfecha por $u(t,\beta_t)$ est $$ \left\{ \partial_t + \frac12 \partial^2_{\beta_t\beta_t} \right\} u(t,\beta_t) = - \beta_t^2 $$ con condición de terminal $$ u(T,\beta_T) = 0 $$ con el entendimiento de que $\beta$ es un movimiento browniano estándar.

Observe también que $u$ est no una martingala (de ahí mi comentario anterior).