Deja que la estrategia del jugador 1 esté representada por $(x1_1,xDD_1,xDC_1,xCD_1,xCC_1)$ donde $x1$ es la acción de la primera ronda del jugador 1, $xDD_1$ es la acción tomada en el conjunto de información donde ambos jugadores han traicionado en la primera ronda, $xDC_1$ es la acción tomada en el conjunto de información donde el jugador 1 ha traicionado y el jugador 2 ha cooperado en la primera ronda, etc. Nota que algo como $(x1_1,x2_1)$ (con $x2_1$ siendo la acción tomada en la ronda 2) nunca es una especificación completa de la estrategia del jugador 1, ya que necesitamos especificar el comportamiento en cada conjunto de información por separado. Define las estrategias del jugador 2 de manera similar. Sin embargo, un equilibrio bayesiano perfecto también debe especificar las creencias del jugador, $\mu_1,\mu_2$. Esta es una parte importante de la especificación de un equilibrio. Como veremos más adelante, la pregunta está orientada a entender que un equilibrio diferente no requiere que las estrategias difieran. Una diferencia en creencias es suficiente para contar como un equilibrio diferente.
El equilibrio perfecto es dado por: $((D,D,D,D,D),\mu_1)$ para el jugador 1 y $((D,D,D,D,D),\mu_2)$ para el jugador 2, donde $\mu_1$ y $\mu_2$ son creencias consistentes en todos los conjuntos de información.
Como se ha señalado en los comentarios, dado que "traicionar" es una estrategia dominante independientemente de las creencias, incluso en un equilibrio bayesiano perfecto débil los perfiles estratégicos deben ser $(D,D,D,D,D)$ para ambos jugadores. Sin embargo, lo siguiente también es un equilibrio Nash bayesiano perfecto débil: $((D,D,D,D,D),\mu_1')$ y $((D,D,D,D,D),\mu_2')$ con $\mu_1'$, $\mu_2'$ consistentes en el camino del equilibrio.
Por lo tanto, la pregunta no está equivocada, simplemente muestra que dos equilibrios Nash bayesianos perfectos débiles pueden tener estrategias idénticas siempre que difieran en creencias fuera del camino del equilibrio.
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Eso no responde a la pregunta, sino que simplemente ofrece un punto pedante . . . De hecho, la estrategia tiene que consistir en 5 elementos.
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Dado tu comentario, ahora creo que tu problema radica en otro lugar: Si eliges una estrategia dominada en un subjuego que está fuera de la senda de equilibrio (es decir, que en realidad no ocurre), tu pago no disminuye.
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Entonces entiendo que las creencias fuera del camino de equilibrio pueden ser arbitrarias (y por lo tanto no tienen que estar de acuerdo con la actualización bayesiana) pero tengo la impresión de que la racionalidad secuencial debe cumplirse (es decir, dadas esas creencias, el individuo debe estar jugando su mejor estrategia). Entonces, en respuesta a tu sugerencia, ¿no violaría una estrategia dominada la racionalidad secuencial?
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Creo (juego de palabras) que $\underline{debil}$ PBE solo requiere racionalidad secuencial en el camino de equilibrio. Aquí hay una presentación que encontré sobre el tema: albertbanalestanol.com/wp-content/uploads/agt-lec2.pdf
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Por lo tanto, en esa presentación de diapositivas todavía dice "WPBE también requiere la especificación de (cualquier) creencias y una acción óptima en H tal que Pr ob(H | ) = 0", lo cual está en línea con mi entendimiento (es decir, aún necesita ser óptima fuera de la ruta de equilibrio).
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Usted tiene razón. Lo siento, supongo que hasta ahora había entendido mal WPBE. Después de pensarlo con la definición correcta, creo que también tiene razón en que no existe un WPBE perfecto fuera del subjuego.
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@denesp: La PBE débil es "débil" no porque no requiera racionalidad secuencial fuera del camino de equilibrio, sino porque no requiere que las creencias sean consistentes con la regla de Bayes fuera del camino de equilibrio. Aunque estoy de acuerdo en que en el caso de dos juegos repetidos del dilema del prisionero (PD) no hay WPBE con estrategias no perfectas en subjuegos, esta conclusión no se cumple en general. La razón es porque defect es una estrategia estrictamente dominante en PD, por lo tanto, para cualquier creencia fuera del camino de equilibrio (incluso si es inconsistente con la regla de Bayes), defect sigue siendo secuencialmente racional.
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Sin embargo, para juegos sin una estrategia dominante, podríamos manipular creencias fuera del equilibrio de tal manera que las estrategias no perfectas del subjuego sean secuencialmente racionales. Si fortalecemos el requisito de consistencia en las creencias (como se requiere en el equilibrio secuencial) al obligar a que la regla de Bayes se mantenga incluso fuera del equilibrio, entonces podemos descartar estrategias no perfectas del subjuego. Así que tenemos el resultado de que el equilibrio secuencial implica tanto WPBE como SPE.
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@HerrK. - gracias por el comentario, he hablado con algunas personas y se acuerda que la pregunta está mal (pero tu comentario sobre el camino fuera del equilibrio es correcto y útil en general). ¿Tienes alguna lectura/ejemplo bueno para el equilibrio secuencial y realmente "hacerlo" en lugar de ver la definición de la secuencia de estrategias, etc, etc?
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@Brian: Aprendo estas cosas utilizando el texto de MWG, donde complementan las definiciones formales con ejemplos y ejercicios. También encuentro que el tratamiento del tema en el texto de Fudenberg & Tirole es bastante esclarecedor, aunque a veces un poco técnico. Este último texto también tiene ejercicios al final de cada capítulo que puedes usar para evaluar tu comprensión del material.
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@Brian, ¿podrías publicar tu respuesta como respuesta? Creo que podría ser útil para otros que vengan después con un problema similar.