Si dos modelos implican la misma superficie de volatilidad, ¿sus griegas siguen siendo diferentes?

Question

Bueno, la pregunta está en el título. Supongamos que tengo dos modelos diferentes (por ejemplo, un modelo de volatilidad local y un modelo de volatilidad estocástica, como un modelo Dupire y un modelo SABR, por ejemplo) y que estoy analizando únicamente opciones europeas. Supongamos que ambos modelos tienen un conjunto de parámetros en el que producen exactamente la misma sonrisa de volatilidad, por ejemplo, para un strike determinado, coinciden en el precio de la opción europea. Para simplificar, vamos a centrarnos realmente en las OE.

¿Implica eso también que sus sensibilidades coinciden? Sé que un delta de LV y, por ejemplo, un delta de SABR pueden ser diferentes para una opción, pero realmente no puedo encontrar mucha información sobre si eso viene con una superficie diferente (por lo que hay ALGUNA dinámica que sería diferente) o no.

Mi pensamiento hasta ahora me dice que no, que deben ser iguales. Supongamos que tomo un estimador FD de cualquier griego. Como los precios producidos a partir de ambos modelos coinciden, ambos son también iguales y por tanto en el límite la misma cantidad.

Actualmente estoy pensando en los griegos de straddles o strangles u otras estrategias de opciones. Para esos, tengo precios de opciones cotizados y también tengo diferentes volatilidades por componente. Técnicamente sólo añadiría sus BS greeks ingenuamente si quisiera tener la "exposición delta global" del producto pero sé que por supuesto el skew juega un papel.

¿Estoy pensando demasiado en esto? En la práctica, ¿se diría "aquí, estos tres modelos encajan perfectamente en el mercado y todos sus griegos aquí son ligeramente diferentes, así que elige lo que te interesa" si de hecho fueran diferentes?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario, así que:

Como se ha mencionado anteriormente, y como creo que ya sabes, a cada modelo SV le corresponde un modelo LV con los mismos márgenes. Por tanto, ambos generarán la misma superficie de volatilidad implícita de vainilla.

La pregunta es si las sensibilidades serán las mismas en los modelos LV y SV. En general, la respuesta es no, y usted ha preguntado si existe una prueba de esta afirmación.

No he visto una prueba general de la afirmación, pero le daré un argumento de plausibilidad restringido a los llamados modelos homogéneos de SV (que incluye a Heston, SABR con beta=1, y otros modelos populares de SV)

Muchos modelos estocásticos de vol son homogéneos de grado 1 en spot y strike. Es decir, si $C_{SV}(S_t,K,T)$ es el precio de la opción de vainilla de volatilidad estocástica, entonces para $\lambda \in \mathbb R$ , $$ C_{SV}(\lambda S_t,\lambda K,T) = \lambda C_{SV} (S_t, K,T) $$

La consecuencia de esto es que, al diferenciar ambos lados wrt $\lambda$ y el ajuste $\lambda = 1$ , $$ C_{SV} (S_t, K,T) = S \partial_S C_{SV} (S_t, K,T) + K \partial_K C_{SV} (S_t, K,T) $$ Dejemos que $C_{BS} (S_t,K,I(K),T)$ sea la fórmula del precio de compra de Black-Scholes tal que $$ C_{BS} (S_t,K,I(K),T) = C_{SV} (S_t, K,T) $$ entonces se ve que para los modelos homogéneos el delta de la opción se puede leer en la sonrisa (es decir, `independiente del modelo'): \begin{align} S \partial_S C_{SV} (S_t, K,T) &= C_{BS} (S_t,K,I,T) - K \partial_K C_{SV} (S_t, K,T) \\ &= C_{BS} (S_t,K,I,T) - K \left\{ \partial_K C_{BS} (S_t,I(K),K,T) \right. \\ &\quad \left. + \partial_K I(K) \partial_I C_{BS} (S_t,I(K),K,T) \right\} \end{align}

Los modelos de volatilidad local no son homogéneos en general, por lo que su delta será diferente al delta del modelo SV derivado anteriormente. Pero, ¿cómo se sabe que los modelos de VL no son homogéneos? Para ello veamos el caso simple $T-t \ll 1$ y que el modelo SV sea $$ dS_t = \sigma_t S_t dW_t $$ y el correspondiente modelo LV $$ dS_t = \sigma(S_t,t)S_t dW_t $$ Entonces, para el modelo SV podemos escribir para $T-t \ll 1$ $$ E_t \left[(S_T - K)_+\right] = E_t \left[(S_t + \sigma_t S_t (W_T-W_t) - K)_+\right] $$ que es claramente homogénea de grado 1. Sin embargo, para el modelo LV $$ E_t \left[(S_T - K)_+\right] = E_t \left[(S_t + \sigma_t(S_t,t) S_t (W_T-W_t) - K)_+\right] $$ no es, en general, homogénea debido a la dependencia de la volatilidad instantánea del spot.

En cuanto a qué delta debe utilizar. No creo que haya una respuesta definitiva a eso. Me refiero a que en el modelo SV el vol instantáneo es un proceso separado (posiblemente) correlacionado, mientras que en el modelo LV el vol instantáneo es impulsado por el precio al contado. Así que en uno hay riesgo de Vega, en el otro no lo hay realmente / estrictamente hablando.

El argumento de la homogeneidad puede aplicarse también a la gamma. Pero Vega y vanna y Volga en LV versus SV son conceptos más complicados de los que no hablaré aquí / ahora.

Espero que esto ayude.