¿Por qué la rentabilidad de la cartera se define como una rentabilidad ponderada?

Question

Después de leer la teoría moderna de la cartera, me pregunto por qué se define así la rentabilidad de la cartera. Supongamos que hay $n$ activos de una cartera, el rendimiento simple de un activo individual $i$ en el momento $t$ se define como $r^i_{t} = (P^i_{t} - P^i_{t-1})/(P^i_{t-1})$ . La rentabilidad de la cartera se define entonces como la suma ponderada de las rentabilidades individuales,

$ R_t = \sum_{i=1}^n w_i r^i_t, $

donde $w_i$ es el peso del activo individual $i$ . Sin embargo, esta no es la "definición natural de retorno" que tengo en la cabeza. En el momento $(t-1)$ el coste que gastamos para formar la cartera viene dado por

$ C_{t-1} = \sum_{i=1}^n w_i P^i_{t-1}. $

En el momento $t$ Supongamos que el precio de los activos $i$ se eleva a $P^i_{t}$ entonces el "valor de la cartera en $t$ " es

$ V_t = \sum_{i=1}^n w_i P^i_{t} $

Así, el rendimiento de la cartera debería ser

$ R'_t = (V_t - C_{t-1}) / C_{t-1} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i P^i_{t}}{\sum_{i=1}^n w_i P^i_{t-1}} - 1 $

que es diferente de la definición del libro de texto $R_t$ .

¿Puede alguien explicar por qué usamos $R_t$ en lugar de $R'_t$ en la definición de la rentabilidad de la cartera?

comentario a añadir

Al buscar en Google la rentabilidad ponderada utilizada en la teoría moderna de carteras, encontré gente que decía que la rentabilidad logarítmica es aditiva en el tiempo pero no en los activos, mientras que la rentabilidad simple es aditiva en los activos pero no en el tiempo. Por eso se utiliza la rentabilidad simple en la teoría moderna de carteras.

Sin embargo, ¿no es la discrepancia entre $R_t$ y $R'_t$ ¿una prueba de que la rentabilidad simple tampoco es aditiva entre los activos? Me gustaría poder resolver esto para poder proceder..

Prueba de la equivalencia

Gracias @Dave Harris por la útil solución. En primer lugar, las fórmulas relativas a $R'_t$ debe corregirse como

$ C_{t-1} = \sum_{i=1}^n n_i P^i_{t-1}, $

$ V_t = \sum_{i=1}^n n_i P^i_{t}, $

donde $n_i$ es la cantidad del activo $i$ y así

$ R'_t = (V_t - C_{t-1}) / C_{t-1} = \frac{\sum_{i=1}^n n_i P^i_{t}}{\sum_{i=1}^n n_i P^i_{t-1}} - 1. $

Entonces, es realmente bastante trivial reescribir $R_t$ en forma de $R'_t$ :

$ R_t = \sum_{i=1}^n w_i r^i_t = \sum_{i=1}^n \frac{n_iP_{t-1}^i}{\sum_{j=1}^n n_j P^j_{t-1}} \frac{P_t^i - P^i_{t-1}}{P_{t-1}^i} = \frac{\sum_{i=1}^n n_i P^i_{t}}{\sum_{j=1}^n n_j P^j_{t-1}} - 1 = (V_t - C_{t-1}) / C_{t-1} = R'_t, $

donde las ponderaciones son la proporción de riqueza

$ w_i := \sum_{i=1}^n\frac{n_iP_{t-1}^i}{\sum_{j=1}^n n_j P^j_{t-1}} $

Answer 1

Hay un error en sus suposiciones. Una vez que haya invertido pesos $w_i$ de su patrimonio en el momento $t-1$ Estas ponderaciones no tienen por qué permanecer constantes cuando los precios de sus activos cambian. Imagínese que tiene una cartera de activos con la misma ponderación en el momento $t-1$ entonces $w_i = \frac{1}{n}$ si tiene $n$ activos. Si todos sus activos, excepto el primero, pierden valor entre $t-1$ y $t$ entonces sus nuevos pesos serán $w_1^\prime =1$ , $w_i^\prime=0\forall i\neq1$ . Estás confundiendo los pesos, que se refieren a las cantidades de riqueza, y las cantidades, que se refieren a las unidades de activos. No son lo mismo.