¿Puede un juego soluble por dominio tener un equilibrio de estrategia mixta?

Question

Preludio: recibimos esta pregunta sobre juegos finitos específicos. Vamos a responderla de forma general. (ejemplos 1 , 2 )

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Supongamos que existe un juego finito de dos jugadores (un "juego matricial") en el que ambos jugadores maximizan su beneficio esperado, por ejemplo, si el jugador $1$ probabilidad de atributos $q_i$ a cualquier estrategia $s_{2i}$ del jugador $2$ entonces, dada su función de recompensa $f_1$ y una estrategia $s_{1k}$ su pago es $$\sum_i q_i \cdot f_1(s_k,s_{2i}).$$

El juego es resoluble por dominación, es decir, tras la eliminación iterada de las estrategias estrictamente dominadas sólo queda un perfil de estrategia pura.

¿Es posible que este juego tenga un equilibrio de Nash de estrategia mixta?

Answer 1

No, eso no es posible.

Supongamos que el jugador $2$ tiene una estrategia $s_{2j'}$ que está estrictamente dominado por $s_{2j}$ . Esto significa que para todas las estrategias puras $s_1$ del jugador $1$ tenemos $$f_2(s_1,s_{2j}) > f_2(s_1,s_{2j'}).$$

Lema 1. Esta desigualdad también es válida para cualquier estrategia mixta $s_1$ del jugador $1$ .

Prueba. Supongamos que el jugador $1$ se mezcla con un vector de probabilidad $p$ . Por lo tanto, los pagos esperados del jugador $2$ cuando se trata de estrategias de juego $s_{2j}$ y $s_{2j'}$ son respectivamente $$\sum_i p_i \cdot f_2(s_{1i},s_{2j}), \hskip 10pt \text{and} \hskip 10pt \sum_i p_i \cdot f_2(s_{1i},s_{2j'}).$$ Para las probabilidades positivas $p_i$ cualquier miembro $p_i \cdot f_2(s_{1i},s_{2j})$ de la suma de la izquierda será mayor que la correspondiente $p_i \cdot f_2(s_{1i},s_{2j'})$ miembro de la suma de la derecha. Cuando $p_i = 0$ los miembros también serán iguales. $\sum_i p_i = 1$ , por lo que al menos una $p_i$ es positiva, por lo que la suma de la izquierda es a su vez mayor que la suma de la derecha; por lo tanto $s_{2j}$ dominado $s_{2j'}$ incluso contra estrategias mixtas. $QED$

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Lema 2. Si una estrategia mixta $s_2'$ del jugador $2$ pone un peso positivo $q_{j'}$ en su pura estrategia $s_{2j'}$ , entonces el jugador $2$ tiene una estrategia mixta $s_2$ que domina $s_2'$ .

Prueba. Jugador $2$ puede aumentar su recompensa eliminando la probabilidad de $s_{2j'}$ porque independientemente de la estrategia $s_1$ jugador $1$ obras que tenemos $$\begin{align*} f_2(s_{1},s_{2j'}) & < f_2(s_{1},s_{2j}) \\ q_{j'} \cdot f_2(s_{1},s_{2j'}) & < q_{j'} \cdot f_2(s_{1},s_{2j}) \\ q_{j'} \cdot f_2(s_{1},s_{2j'}) + \sum_{i\neq j'} q_i \cdot f_2(s_{1},s_{2i}) & < q_{j'} \cdot f_2(s_{1},s_{2j}) + \sum_{i\neq j'} q_i \cdot f_2(s_{1},s_{2i}). \end{align*}$$ El lado izquierdo de la desigualdad final es el desempate esperado del jugador $2$ mientras juega $s_2'$ mientras que el lado derecho, más grande, es la ganancia esperada jugando otra estrategia. Esta otra estrategia -que denotaremos por $s_2$ - produce una recompensa mayor que $s_2'$ independientemente de $s_1$ Por lo tanto $s_2$ estrictamente dominado $s_2'$ . $QED$

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Ahora se puede realizar la iteración de dominadas estrictas puro estrategias de nuevo. Al final, un jugador nunca debería poner un peso positivo en una estrategia pura estrictamente dominada, incluso cuando se enfrenta a estrategias mixtas. En el equilibrio los jugadores actúan de forma óptima, pondrán un peso positivo 0 en todas las estrategias eliminadas. Por lo tanto, en un juego soluble por dominancia, en el equilibrio los jugadores jugarán con estrategias puras.