Cómo pasar el retardo largo de lo no observado al filtro de Kalman

Question

Estoy tratando de replicar el filtro multivariado para la salida potencial de papel .

Ya he entendido qué variables del modelo son observadas y cuáles son inobservadas. Este modelo debe ser reescrito en la configuración del modelo de espacio de estados para ser estimada. Sin embargo, en la fórmula para el PIB a largo plazo hay una NAIRU que se retrasa 20 trimestres (véase la imagen siguiente).

Tanto la NAIRU en el período t como la NAIRU en el período t-20 son inobservables, lo que significa que deben entrar en el vector de variables inobservables.

En este caso no entiendo cómo podemos formular la matriz de transición ya que tenemos NAIRU(t) y NAIRU(t-19) en el lado izquierdo de la ecuación de transición y NAIRU(t-1) y NAIRU(t-20) en el lado derecho.

Qué coeficientes debo poner en la fila de la matriz de transición para la NAIRU(t-19).

Quiero estimar este modelo por muestreo bayesiano. Esto significa que soy capaz de muestrear los coeficientes de la matriz de transición y pasarlos al filtro de Kalman.

Answer 1

El "truco" consiste en preservar las identidades de los rezagos en la matriz de transición. En el periodo $t$ se tiene (para alguna variable de estado $x$ ) $$ x_t =a x_{t-1} \\ x_{t-1} = x_{t-1}\\ x_{t-2} = x_{t-2}\\ \cdots $$ Así, el bloque correspondiente de la matriz de transición pasa a ser $$ \begin{bmatrix} x_t \\ x_{t-1}\\ x_{t-2}\\ \vdots\\ x_{t-20}\\ \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 & \cdots && 0\\ 1 & 0 & \cdots && 0\\ 0 & 1 & 0 \cdots && 0\\ \vdots & & \ddots && \vdots\\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x_{t-1} \\ x_{t-2}\\ x_{t-3}\\ \vdots\\ x_{t-21}\\ \end{bmatrix} $$ El $a$ capta la transición de un período para $x$ de $t-1$ a $t$ . Este coeficiente puede ser estimado o no. Obsérvese que el retardo 21, que no se desea, tiene un coeficiente cero y no se arrastra.

Véase, por ejemplo, el apéndice B en Banbura, Marta y Giannone, Domenico y Reichlin, Lucrezia, Nowcasting (30 de noviembre de 2010). Documento de trabajo del BCE nº 1275