Cómo estimar $\gamma$ en el siguiente modelo?

Question

Supongamos que tengo el siguiente modelo:

$Q=1(x'\beta+e>0)$ ,

$D=1(x'\alpha+\gamma Q+u>0)$

y quiero estimar $\gamma$ los términos de error $e,u$ son conjuntamente normales.

Si $e$ y $u$ están correlacionadas, ¿puedo seguir estimando $\gamma$ de forma consistente ejecutando un probit utilizando sólo la segunda ecuación?

¿Por qué o por qué no?

Si no puedo, ¿cómo podría estimar $\gamma$ en este caso?

Answer 1

Si $u$ se distribuye normalmente condicionado a $x$ y $Q$ , entonces se podría estimar mediante probit la segunda ecuación. Porque $Q$ depende de $e$ y $e$ está correlacionada con $u$ Esta suposición probablemente fracasa (¿ese es su punto?). Además, tenga en cuenta que si $u \sim N(0, \sigma^2)$ entonces el probit estima realmente $\frac{\gamma}{\sigma}$ . (es decir, la relación entre el coeficiente y la desviación estándar del error).

Si la ecuación con $Q$ como resultado tenía una variable del lado derecho que no está en la ecuación con $D$ como resultado, entonces esa variable podría servir como instrumento y se podría realizar un Probit IV. En la actualidad, no existe dicha variable, por lo que el Probit IV no es una opción.