Integral de la función del movimiento browniano con respecto al tiempo (Contexto: cálculo de la variación cuadrática)

Question

Busco calcular la variación cuadrática de $$S_t = S_0e^{\sigma B_t}$$ donde $B_t$ es un movimiento browniano. Aplicando el lema de Itô, tengo lo siguiente $$(dS_t)^2 = S_0^2\sigma^2e^{2\sigma B_t}dt$$ Aquí es donde estoy un poco confundido... ¿cómo se calcula esto realmente?

Sé que lo siguiente no puede ser resuelto usando calc tradicional (dado que $B_t$ no es diferenciable) $$S_0^2\sigma^2\int_0^Te^{2\sigma B_t}dt$$

¿Aplico de nuevo el lema de Ito, suponiendo algo así como $$f_{xx}(t,x) = e^{2\sigma x}$$ y asumir que f no es una función de t?

...O me aproximo con algo como $$\sum_ie^{2\sigma B_{i}}(t_{i+1}-t_i)$$

Me resulta difícil encontrar detalles en la bibliografía. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Si tenemos $$S_t = S_0 e^{\sigma B_t},$$

entonces la expansión de Itô da \begin{align} dS &= \frac{\partial S}{\partial t} dt + \frac{\partial S}{\partial B} dB + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 S}{\partial B^2} (dB)^2 \\ &= 0 \cdot dt + \sigma S_0 e^{\sigma B}dB + \frac{1}{2}\sigma^2 S_0 e^{\sigma B} dt \\ &= \frac{1}{2}\sigma^2 S_t dt + \sigma S_tdB, \end{align} donde usamos que $(dB)^2=dt$ .

Por lo tanto, tenemos que \begin{align} d\langle S \rangle_t := (dS_t)^2 = \sigma^2S_t^2dt, \end{align} de modo que la variación cuadrática viene dada por $$\langle S \rangle_t = \sigma^2 \int_0^t S_u^2 du.$$