Econometría - Fórmula de ancho de banda del núcleo

Question

Cuando se utiliza un núcleo gaussiano para estimar la distribución de una distribución gaussiana $x$ el ancho de banda que minimiza el error cuadrático medio integrado es:

$$h=\left(\frac{4 \hat{\sigma}^5}{3n}\right)^{\frac{1}{5}} $$

donde $\hat{\sigma}$ es la desviación estándar estimada de $x$ y $n$ es el tamaño de la muestra. He visto la derivación de este resultado.

Soy consciente de que hay ajustes que utilizan el rango intercuartil en lugar de $\hat{\sigma}$ y también que utilizan $0.90$ en lugar de $1.06=\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{5}}$ . Soy consciente de que estos ajustes están motivados por el hecho de que $x$ puede no estar distribuido normalmente y puede estar sesgado.

No he visto una justificación matemática de estos ajustes ni una explicación de por qué son "óptimos". Los ajustes me parecen arbitrarios. ¿Existe una justificación matemática de los mismos?

Answer 1

En el libro de texto escrito por Henderson y Parmeter (2015, capítulo 2.5) se ofrece una buena discusión, con referencias para las justificaciones matemáticas. Véanse también los apéndices técnicos del libro de texto disponibles en línea en: https://www.the-smooth-operators.com/technical-appendixerratum

Henderson, D. y C. Parmeter, 2015, Applied Nonparametric Econometrics, Cambridge University Press.

Para resumir el material allí expuesto: el ancho de banda se puede calcular de forma óptima para minimizar el AMSE o el AMISE. Así se obtiene la expresión $$ h_{opt} = g\left(f(x),f^{(2)}(x),R(f^{(2)}),R(k),\kappa_2(k) \right)\hspace{2mm} n^{-1/5} $$ donde el factor de proporcionalidad $g$ es específico del objetivo que se minimiza, $f$ denota la densidad y $f^{(2)}(x)$ su segunda derivada, $\kappa_2(k)$ es el segundo momento de la función del núcleo $k$ y $R(f) = \int f(v)^2 dv$ representa la "dificultad" de una función $f$ . No existe un valor óptimo para este factor de proporcionalidad, pero puede calibrarse para elecciones específicas del núcleo y las funciones de densidad. Los valores que da se obtienen para la densidad normal y el núcleo gaussiano. Los autores dan otros valores en su Tabla 2.3.