Esta pregunta está motivada por un ejemplo en Sección 4.7.3. Equilibrios de bucle abierto y bucle cerrado en juegos con muchos jugadores sur Teoría de Juegos de Fudenberg y Tirole .
A continuación se ofrecen las definiciones de bucle cerrado y bucle abierto del libro.
Estrategias de bucle cerrado y bucle abierto (Sección 4.7.1 en FT): Nuestra definición de un juego de varias etapas con acciones observadas corresponde a la estructura de información de bucle cerrado, en la que los jugadores condicionan su juego en el tiempo $t$ en la historia del juego hasta esa fecha. Las estrategias correspondientes se denominan estrategias de bucle cerrado, mientras que las estrategias de bucle abierto son funciones del tiempo del calendario únicamente.
El siguiente ejemplo sirve para ilustrar que un equilibrio de bucle abierto también puede ser un equilibrio subjuego perfecto.
Sección 4.7.3 en FT: Consideremos que un juego tiene un continuo de individuos no atómicos de cada tipo de jugador: un continuo de jugadores 1, un continuo de jugadores 2, etc. (Dejemos que el conjunto de individuos sean copias del intervalo unitario dotado de la medida de Lebesgue para concretar). Supongamos además que cada jugador $i$ es independiente de las acciones de cualquier subconjunto de oponentes con medida $0$ . Entonces, si un jugador individual $j$ se desvía, y todos los jugadores $k\not=i,j$ ignorar $j$ es claramente óptimo para el jugador $i$ para ignorar también la desviación. Así, el resultado de un equilibrio de bucle abierto es subjuego perfecto.
Mi pregunta es que, en el argumento anterior, ¿por qué necesitamos la parte que es óptima para el jugador $i$ para ignorar $j$ ¿se ha desviado a otros que lo han hecho?
A mi entender, para demostrar que un equilibrio de bucle abierto es subjuego perfecto, tenemos que aplicar el principio de desviación de una sola vez. Por lo tanto, supongamos que el jugador $j$ se desvía, entonces debido a la suposición y al hecho de que la medida del jugador $j$ es $0$ Esto no afectará a la retribución de ningún jugador. Por lo tanto, si un perfil de estrategia constituye un equilibrio de bucle abierto, también es subjuego perfecto.
Sin embargo, el argumento del libro parece indicar que no sólo hay que comprobar si el jugador $j$ es rentable, también tenemos que comprobar si hay una desviación rentable para el jugador $i$ en el subjuego en el que $j$ ya se desvía. Estoy un poco confundido acerca de cómo aplicar el principio de desviación de una sola vez.
Para concretar mi confusión, consideremos una versión infinitamente repetida del dilema del prisionero para dos personas, y consideremos el siguiente perfil de estrategia: Ambos jugadores elegirán $C$ y si un jugador elige $D$ en algunos $t$ Ambos jugadores jugarán $D$ para todos $\tau>t$ .
Supongamos que queremos comprobar si el perfil de estrategia anterior constituye un equilibrio subjuego perfecto, aplicamos el principio de desviación de una sola vez mediante los siguientes pasos.
Paso 1: Suponemos que el jugador $i$ se desvía a $D$ en algún momento $t$ y no se ha producido ninguna desviación hasta $t$ comprobamos si esta desviación es rentable.
Paso 2: A continuación, suponemos que el jugador $i$ se desvía a $C$ en algún subjuego en el que ya se ha producido una desviación y comprobar si dicha desviación es rentable.
Paso 3: Si la respuesta es negativa en ambos pasos, decimos que el perfil estratégico anterior constituye un equilibrio subjuego perfecto.
En esta situación particular, mi pregunta es que, en el paso 1, ¿tenemos que comprobar también si hay una desviación rentable para el jugador $-i$ después de la desviación de $i$ de $C$ a $D$ ? ¿Cómo distinguir entre las desviaciones en todos los subjuegos y las desviaciones de un solo golpe?
Gracias de antemano por su ayuda.
